\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{rotating}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{bbm}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[unicode]{hyperref}
\usepackage[all]{xy}

\DeclareFontFamily{OT1}{pzc}{}
\DeclareFontShape{OT1}{pzc}{m}{it}{<-> s * [1.2] pzcmi7t}{}
\DeclareMathAlphabet{\mathpzc}{OT1}{pzc}{m}{it}

\DeclareMathOperator{\Nil}{Nil}
\DeclareMathOperator{\Specm}{Specm}
\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}
\DeclareMathOperator{\Dom}{Dom}
\DeclareMathOperator{\Cod}{Cod}
\DeclareMathOperator{\PGL}{PGL}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Nat}{Nat}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
\DeclareMathOperator{\Map}{Map}
\DeclareMathOperator{\Rad}{Rad}
\DeclareMathOperator{\Reg}{Reg}
\DeclareMathOperator{\Rel}{Rel}
\DeclareMathOperator{\Inj}{Inj}
\DeclareMathOperator{\Sub}{Sub}
\DeclareMathOperator{\Surj}{Surj}
\DeclareMathOperator{\Bij}{Bij}
\DeclareMathOperator{\Ob}{Ob}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\PSL}{PSL}
\DeclareMathOperator{\Funct}{Funct}
\DeclareMathOperator{\Sk}{Sk}
\DeclareMathOperator{\fchar}{char}

\newcommand{\Spe}{\mathrm{Sp\acute{e}}}
\newcommand{\Et}{\mathrm{\acute{E}t}}

\newcommand{\bbu}{\mathbbm{1}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{1}}
\newcommand{\categ}{\mathpzc}
\newcommand{\vcirc}{\varobar}
\newcommand{\hcirc}{\varominus}
\newcommand{\term}{\textbf}
\newcommand{\isom}{\cong}
\newcommand{\invsubseteq}{\begin{sideways}$\subseteq$\end{sideways}}
\newcommand{\invin}{\raisebox{.5em}{\begin{turn}{-90}$\in$\end{turn}}}
\newcommand{\dfn}{\mathrel{\mathop:}=}
\newcommand{\rdfn}{=\mathrel{\mathop:}}

\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}

\usepackage{amsthm}
\newtheorem{exercise}{Упражнение}[section]
\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{proposition}{Утверждение}[section]
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Определение}[section]

\newcommand{\TBW}{\textbf{TBW}}

\hypersetup{
  pdftitle = {Category Theory},
  pdfauthor = {Nikolai Vavilov, Alexander Luzgarev, Lyosha Beshenov (lecture notes)},
  pdfdisplaydoctitle = true
}

\begin{document}
\title{Теория категорий}
\date{20 марта 2012 г.}
\maketitle

\noindent\begin{tabular}{|p{15.5cm}|}
\hline
Это конспект лекций Н.~А.~Вавилова и А.~Ю.~Лузгарева.
Все опечатки и неточности остаются на совести авторов конспекта; о них можно написать по адресу \texttt{lyosha@cadadr.org}.
Регулярно обновляющаяся версия~--- \url{http://cadadr.org/notes/categories.pdf}
(исходный файл~--- \texttt{categories.tex})\\
\hline
\end{tabular}

\vspace{2em}

\noindent Рекомендованная литература:

\begin{enumerate}
\item С.\,Маклейн, \emph{Категории для работающего математика}.
\item И.\,Букур, А.\,Деляну, \emph{Введение в теорию категорий и функторов}.
\item Р.\,Голдблатт, \emph{Топосы. Категорный анализ логики}.
\item П.\,Т.\,Джонстон, \emph{Теория топосов}.
\item С.\,И.\,Гельфанд, Ю.\,И.\,Манин, \emph{Введение в гомологическую алгебру}.
\item J.\,Adamek, H.\,Herrlich, G.\,E.\,Strecker, \emph{The Joy of Cats}.
\item[+] Почти любая книжка по гомологической алгебре или алгебраической топологии.
\end{enumerate}

\pagebreak

\tableofcontents

\pagebreak

\section{Категории}

\begin{definition}
\term{Категория} $\categ{C}$ задается:
\begin{itemize}
\item Классом \term{объектов} $\Ob(\categ{C})$.

\item Для любых двух объектов $A,B \in \Ob(\categ{C})$ множеством $\Hom_\categ{C}(A,B)$, элементы которого называются \term{морфизмами} из $A$ в $B$ в категории $\categ{C}$.

\item Для любых трех объектов $A,B,C \in \Ob(\categ{C})$ задана \term{композиция}

\begin{eqnarray*}
\Hom_\categ{C}(A,B) \times \Hom_\categ{C}(B,C) & \to & \Hom_\categ{C}(A,C),\\
(A\xrightarrow{f} B, \, B\xrightarrow{g} C) & \mapsto & A \xrightarrow{f\,g} C.
\end{eqnarray*}

\end{itemize}

Причем выполняются следующие аксиомы:

\begin{enumerate}
\item Различные множества морфизмов не пересекаются: пусть $A,B,C,D \in \Ob(\categ{C})$; тогда если $\Hom_\categ{C}(A,B) \cap \Hom_\categ{C}(C,D) \neq \emptyset$, то $A = B$ и $C = D$. Таким образом можно говорить о классе всех морфизмов $\Hom(\categ{C}) \dfn \coprod_{A,B \in \Ob(\categ{C})}\limits \Hom_\categ{C}(A,B)$.

\item Композиция морфизмов ассоциативна, т.\,е. для всех $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \xrightarrow{h} D$

\[ f\,(g\,h) = (f\,g)\,h. \]

\item У любого объекта $A \in \Ob(\categ{C})$ существует (и единственный в силу ассоциативности) \term{тождественный морфизм} $1_A \in \Hom_\categ{C}(A,A)$. При этом для любых двух объектов $A,B \in \Ob(\categ{C})$ и для любого морфизма $f \in \Hom_\categ{C}(A,B)$ выполнено $1_A \circ f = f = f \circ 1_B$.
\end{enumerate}
\end{definition}

\subsection{Первые примеры}

\begin{enumerate}
\item $\categ{Set}$~--- категория множеств и отображений.

$\Hom_\categ{Set} (X,Y) \dfn \Map (X,Y)$.

Композицию в $\categ{Set}$ принято записывать в обратном порядке, т.е. для $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$ используется запись $g\,f$ вместо $f\,g$.

\item Конкретная категория: объекты~--- множества с дополнительной структурой, а морфизмы~--- отображения, сохраняющие эту структуру (категория пространств с мерой и измеримых отображений, категория топологических пространств и непрерывных отображений, и\,т.\,д.).

\item $\categ{Grp}$~--- категория групп и гомоморфизмов.

\begin{definition}
Морфизм $A \xrightarrow{f} B$ называется \term{изоморфизмом}, если существует морфизм $B \xrightarrow {g} A$, такой что $f \, g = 1_A$ и $g \, f = 1_B$.
\end{definition}

\begin{definition}
Категория с одним объектом называется \term{моноидом}.

\term{Группой} называется категория с одним объектом, в которой все морфизмы являются изоморфизмами.
\end{definition}

(Точнее говоря, моноидом (группой) в классическом смысле является $\Hom_\categ{C} (A,A)$.)

\item $\categ{Ab}$~--- категория абелевых групп: объекты~--- абелевы группы, морфизмы~--- гомоморфизмы групп.

\begin{definition}
Группа $G$ называется \term{абелевой} (коммутативной), если умножение в ней коммутативно.
\end{definition}

\item $\categ{Ring}$~--- категория ассоциативных колец: объекты~--- ассоциативные кольца, морфизмы~--- гомоморфизмы колец.

\item Категория модулей и линейных отображений.

\item \term{Транзитивный граф} (\term{предпорядок})~--- множество объектов $\Ob(\categ{C})$, снабженное рефлексивным транзитивным отношением

\[ A \preceq B \iff \text{существует морфизм } A \to B, \]

\noindent причем между любыми двумя объектами имеется не более одного морфизма.

\[ \tag{1} \xymatrix{ \circ \ar@(ur,ul)[] } \]

\[ \tag{2} \xymatrix{ \circ \ar@(u,l)[] \ar[r] & \circ \ar@(u,r)[] } \]

\[ \tag{3} \xymatrix{ \circ \ar@(u,l)[] \ar[rd] \ar[rr] & & \circ \ar@(u,r)[] \ar[ld] \\ & \circ \ar@(dr,dl)[] & } \]
\\

\begin{definition}
\term{Бинарным отношением} на множестве $X$ называется множество $R \in \Rel(X) \dfn \Rel(X,X) \dfn 2^{X \times X}$. Мы пишем $x\,R\,y$, если $(x,y) \in R$.

$R$ называется \term{транзитивным}, если $x\,R\,y, y\,R\,z \Rightarrow x\,R\,z$ и \term{рефлексивным}, если $x\,R\,x$ для любого $x \in X$.

Множество $X$ с рефлексивным транзитивным отношением называется \term{предупорядоченным} (\emph{preordered set}).

Предупорядоченное множество $X$ называется \term{частично упорядоченным} (\term{poset},\term{ЧУМ}), если $R$ антисимметрично: $x\,R\,y, ~ y\,R\,x \Rightarrow x = y$
\end{definition}

% \item Категории порядка (\emph{что это?}~--- lyosha@cadadr.org).

\item \term{Дискретная категория}~--- это категория, в которой все морфизмы тождественные:

\[ \Hom_\categ{C} (A,B) = \left\{\begin{array}{cl}
\emptyset, & A \ne B,\\
\{ 1_A \}, & A = B.
\end{array}\right. \]

Всякий класс можно очевидным образом снабдить структурой дискретной категории.
\end{enumerate}

\subsection{Примеры категорий, связанные с теорией множеств}

\begin{definition}
Категория $\categ{D}$ называется \term{подкатегорией} категории $\categ{C}, \categ{D} \leq \categ{C},$ если

\begin{enumerate}
\item[1)] $\Ob(\categ{D}) \subset \Ob(\categ{C})$,

\item[2)] для любых двух объектов $X,Y \in \Ob(D)$ выполнено $\Hom_\categ{D}(X,Y) \subset \Hom_\categ{C}(X,Y)$, и

\item[3)] композиция морфизмов из $\categ{D}$ совпадает в категориях $\categ{D}$ и $\categ{C}$.
\end{enumerate}

Подкатегория называется \term{полной}, если для любых $X,Y \in \Ob(\categ{D})$ совпадают множества морфизмов $\Hom_\categ{D}(X,Y) = \Hom_\categ{C}(X,Y)$.
\end{definition}

\begin{itemize}
\item $\categ{Bin}$: объекты~--- множества, морфизмы~--- бинарные отношения, композиция~--- произведение отношений.

$\Hom_\categ{Bin} (X,Y) \dfn \Rel (X,Y)$.

\item $\categ{FinSet}$~--- категория конечных множеств и отображений

Категория конечных множеств~--- полная подкатегория $\categ{Set}$.

\item Категория множеств и отображений каких-то типов. Например, $\categ{Inj}$~--- категория множеств и инъективных отображений (в т.ч. композиция инъективных отображений~-- инъективное отображение). Эта категория является неполной подкатегорией категории $\categ{Set}$.

$\Hom_\categ{Inj} (X,Y) \dfn \Inj (X,Y) \subsetneq \Map(X,Y)$.

\item $\categ{Surj}$~--- категория множеств и сюръективных отображений.

$\Hom_\categ{Surj} (X,Y) \dfn \Surj (X,Y) \subsetneq \Map(X,Y)$.

\item $\categ{Bij}$~--- категория множеств и биективных отображений.

$\Hom_\categ{Bij} (X,Y) \dfn \Bij (X,Y) \subsetneq \Map(X,Y)$.

Здесь все морфизмы являются изоморфизмами. Такая категория называется \term{группоидом}.

\item $\categ{Set}_\mathcal{U}$~--- категория множеств в некотором универсуме $\mathcal{U}$.

Универсум есть большое <<множество всех множеств>>, такое что выполняются аксиомы вроде

\begin{enumerate}
\item[1)] $\mathbb{N} \in \mathcal{U}$,
\item[2)] $X,Y \in \mathcal{U} \Rightarrow \{X,Y\} \in \mathcal{U}$,
\item[3)] $X \in Y, ~ Y \in \mathcal{U} \Rightarrow X \in \mathcal{U}$,
\item[4)] $X \subset Y, ~ Y \in \mathcal{U} \Rightarrow X \in \mathcal{U}$,
\item[5)] $Y \in \mathcal{U} \Rightarrow \bigcup_{X \in Y}\limits X \in \mathcal{U}$,
\item[6)] $X \in \mathcal{U} \Rightarrow 2^X \in \mathcal{U}$,
\item[7)] $X \in \mathcal{U}, ~ X \xrightarrow{f} \mathcal{U} \Rightarrow f(X) \in \mathcal{U}$.
\end{enumerate}

Неформально говоря, элемент $X \in \mathcal{U}$~--- это некоторое <<множество>>, а $X \subseteq \mathcal{U}$~--- это <<класс>>; если $X \not\subseteq \mathcal{U}$, то это <<экстраординарный класс>>.

Существование универсума постулируется как аксиома. Наиболее сильная \term{аксиома Гротендика} утверждает, что для всякого множества $X$ найдется такой универсум $\mathcal{U}$, что $X \in \mathcal{U}$

\item $\categ{Set}_\bullet$~--- категория множеств с отмеченной точкой. Объекты~--- пары $(X, x)$, где $x\in X$, морфизмы~--- отображения $(X,x) \xrightarrow{f} (Y,y)$, переводящие отмеченную точку в отмеченную точку. (При композиции это свойство сохраняется.) Это также называется категорией 0-арных операций.

\item $\categ{Pairs}$~--- категория пар. Объекты~--- пары $(X, X^\prime)$, где $X^\prime \subseteq X$, $X^\prime \ne \emptyset$, морфизмы~--- отображения $(X,X^\prime) \xrightarrow{f} (Y,Y^\prime)$, такие что $f (X^\prime) \subseteq Y^\prime$.

\item $\categ{Map}$~--- категория отображений; морфизм между отображениями $X_1 \xrightarrow{f_1} Y_1$ и $X_2 \xrightarrow{f_2} Y_2$~--- пара отображений $(X_1 \xrightarrow{h} X_2, \, Y_1 \xrightarrow{k} Y_2)$, таких что следующая диаграмма коммутативна:

\[ \xymatrix{ X_1 \ar[r]^{f_1} \ar[d]_h & Y_1 \ar[d]^k \\ X_2 \ar[r]_{f_2} & Y_2 } \]

Композиция вводится следующим образом:

\[ \xymatrix{
X_1 \ar[r]^{f_1} \ar[d]_{h_1} \ar@/_2.5em/@{-->}[dd] & Y_1	\ar[d]^{k_1} \ar@/^2.5em/@{-->}[dd] \\
X_2 \ar[r]^{f_2} \ar[d]_{h_2} & Y_2 \ar[d]^{k_2} \\
X_3 \ar[r]^{f_3} & Y_3
} \]

\[ (h_2,k_2) \circ (h_1,k_1) \dfn (h_2 \circ h_1, k_2 \circ k_1). \]

\item Категория внутренних бинарных отношений (relation systems). Элементы~--- пары $(X,R)$, где $R \in \Rel (X,X)$. Морфизмы~--- $(X,R) \xrightarrow{f} (Y,S)$~--- отображения $X \xrightarrow{f} Y$ сохраняющие бинарное отношение:

\[ a\,R\,b \Rightarrow f(a)\,S\,f(b). \]

\begin{exercise}
Это действительно категория.
\end{exercise}

\item $\categ{Pow}$~--- категория множеств и степенных отображений. Объекты~--- множества, морфизмы~--- отображения между множествами их подмножеств.

\[ \Hom_\categ{Pow} (X,Y) \dfn \Map (2^X, 2^Y). \]

$\categ{Set}$ является подкатегорией $\categ{Pow}$ благодаря очевидному вложению $\Map (X,Y) \hookrightarrow \Map (2^X, 2^Y)$.
\end{itemize}

\section{Функторы}

Функторы~--- это <<отображения между категориями>>. Они бывают ковариантные и контравариантные.

\begin{definition}
Пусть $\categ{C}$ и $\categ{D}$~--- две категории. \term{Ковариантный функтор} $F : \categ{C} \rightarrow \categ{D}$ задается следующими данными:

\begin{enumerate}
\item Каждому объекту категории $\categ{C}$ сопоставляется объект категории $\categ{D}$:

\[ \Ob(\categ{C}) \ni X \rightsquigarrow F(X) \in \Ob(\categ{D}). \]

\item Морфизму $f \in \Hom_\categ{C}(X,Y)$ сопоставляется морфизм $F(f) \in \Hom_\categ{D}(F(X),F(Y)),$
\end{enumerate}

\noindent причем для любых $f \in \Hom_\categ{C}(X,Y), g \in \Hom_\categ{C}(Y,Z)$ выполняется

\[  F(f\,g) = F(f)\,F(g). \]

А также для любого $X \in \Ob(\categ{C})$ сохраняется тождественный морфизм:

\[ F (1_X) = 1_{F(X)}. \]
\end{definition}

\term{Контравариантный функтор}~--- это то же самое, но морфизмы развернуты и

\[ F(f\,g) = F(g)\,F(f). \]

Как связаны контравариантные и ковариантные функторы?

\begin{definition}
Пусть $\categ{C}$~--- категория. Сопоставим ей \term{двойственную категорию} $\categ{C}^*$ (также используется обозначение $\categ{C}^{op}$). Объекты~--- объекты исходной категории, $\Hom_{\categ{C}^*}(X,Y) \longleftrightarrow \Hom_\categ{C}(Y,X),$ а композиция вводится следующим образом:

\[ (f\,g)^*  \dfn g^*\,f^*. \]
\end{definition}

\begin{exercise}
Ковариантный функтор $\categ{C} \to \categ{D}$ соответствует контравариантному функтору $\categ{C}^* \to \categ{D}$, или $\categ{C} \to \categ{D}^*$, или $\categ{C}^* \to \categ{D}^*$.
\end{exercise}

Тривиальные примеры функторов:

\begin{itemize}
\item Тождественный функтор $\bu_\categ{C} : \categ{C} \to \categ{C}$.

\item Постоянный функтор~--- функтор $Const_Z: \categ{C} \to \categ{D}$, такой что

\[ \Ob(\categ{C}) \ni X \rightsquigarrow Z, \quad \Hom(X,Y) \ni f \rightsquigarrow 1_Z \]
\end{itemize}

\subsection{Представимые функторы}

$\Hom (A,-)$ есть \term{главный ковариантный функтор $\categ{C} \to \categ{Set}$, представленный $A \in \Ob (\categ{C})$}.

\begin{eqnarray*}
\Ob(\categ{C}) \ni B & \rightsquigarrow & \Hom (A,B) \in \categ{Set} \\
B \xrightarrow{f} C & \rightsquigarrow & \Hom(A,B) \xrightarrow{\Hom(A,f)} \Hom(A,C)
\end{eqnarray*}

Отображение $\Hom(A,f)$, сопоставляет стрелке $g \in \Hom(A,B)$ стрелку $g\,f \in \Hom (A,C)$:

\[ \xymatrix{
A\ar[rr]^g\ar@{-->}[dr]_{g\,f} & & B\ar[dl]^f \\
 & C \\
} \]

$\Hom (-,A)$ есть \term{главный контравариантный функтор $\categ{C} \to \categ{Set}$, представленный $A \in \Ob (\categ{C})$}.

\begin{eqnarray*}
\Ob(\categ{C}) \ni B & \rightsquigarrow & \Hom (B,A) \in \categ{Set} \\
B \xrightarrow{f} C & \rightsquigarrow & \Hom(C,A) \xrightarrow{\Hom(f,A)} \Hom(B,A)
\end{eqnarray*}

Отображение $\Hom(f,A)$, сопоставляет стрелке $g \in \Hom(C,A)$ стрелку $f\,g \in \Hom (B,A)$:

\[ \xymatrix{
A & & B \ar@{-->}[ll]_{f\,g}\ar[dl]^f \\
 & C\ar[ul]^g \\
} \]

\subsection{Категории, изоморфные своим двойственным}

Рассмотрим тождественный функтор $\bu_\categ{Set}\colon \categ{Set} \to \categ{Set}$. Каков его \emph{контра}вариантный аналог? Можно попробовать определить нечто вроде

\begin{eqnarray*}
A & \rightsquigarrow & A \\
A \xrightarrow{f} B & \rightsquigarrow & B \xrightarrow{f^*} A
\end{eqnarray*}

\begin{exercise}
Это невозможно, и $\categ{Set} \not\isom \categ{Set}^*$.
\end{exercise}

Под изоморфизмом категорий здесь понимается следующее.

\begin{definition}
Категории $\categ{C}$ и $\categ{D}$ называются \term{изоморфными}, если имеются два встречных функтора $F\colon \categ{C} \to \categ{D}$ и $G\colon \categ{D} \to \categ{C}$, такие что $F\,G = \bu_\categ{C}$ и $G\,F = \bu_\categ{D}$.
\end{definition}

\begin{exercise}
Тем не менее, для категории $\categ{Bij}$ множеств и биективных отображений выполняется $\categ{Bij} \isom \categ{Bij}^*$. (Построим функтор $A \rightsquigarrow A$, $f \rightsquigarrow f^{-1}$...)
\end{exercise}

\begin{exercise}
Для категории $\categ{Bin}$ множеств и бинарных отношений выполняется $\categ{Bin} \isom \categ{Bin}^*$. (Построим функтор $A \rightsquigarrow A$, $A\times B \supseteq R \rightsquigarrow R^\prime \subseteq B\times A$...)
\end{exercise}

\subsection{Функторы степени}

Сейчас мы построим два функтора $\categ{Set} \to \categ{Set}$~--- один ковариантный $P^+$, а другой контравариантный $P^-$. На объектах $A \in \Ob (\categ{Set})$ оба функтора заданы одинаково:

\[ A \rightsquigarrow 2^A \dfn \{ B \mid B \subseteq A \} \]

$2^A$~--- это \term{булеан}, множество всех подмножеств. Его можно отождествить с множеством $\Map (A, \mathbf{2})$ всех отображений в двухэлементное множество $\mathbf{2} = \{0,1\}$.

На самом деле, $\{0,1\}$~--- это классификатор объектов в категории $\categ{Set}$ (\emph{whatever that means}).

На стрелках $A \xrightarrow{f} B$ функторы $P^+$ и $P^-$ определены так:

\begin{eqnarray*}
2^A & \xrightarrow{P^+(f)} & 2^B \\
C & \mapsto & f(C)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
2^B & \xrightarrow{P^-(f)} & 2^A \\
C & \mapsto & f^{-1}(C)
\end{eqnarray*}

$P^+$ и $P^-$ называют также \term{функтором образа} и \term{функтором прообраза}.

\begin{exercise}
Убедиться, что $P^+$ и $P^-$ действительно функториальны.
\end{exercise}

\subsection{Примеры функторов из категории групп}

Дальше последуют примеры, связанные с категориями $\categ{Gr}$ (группы и гомоморфизмы) и $\categ{Ab}$ (абелевы группы и гомоморфизмы).

%% $\categ{Ass}$ (ассоциативные кольца и гомоморфизмы колец), $\categ{Ring}$ (коммутативные кольца и гомоморфизмы колец)

Тривиальный пример~--- \term{забывающий функтор} $\categ{Gr} \to \categ{Set}$, который <<забывает>> групповую структуру:

\begin{eqnarray*}
(G,\cdot) & \rightsquigarrow & G \\
f & \rightsquigarrow & f
\end{eqnarray*}

Важным примером функтора является \term{коммутант} $[~,~]\colon \categ{Gr} \to \categ{Gr}$. \term{Коммутантом} $[G,G]$ группы $G$ называется группа, порожденная коммутаторами:

\[ [G,G] \dfn \left<[x,y] \mid x,y \in G\right>, \text{ где } [x,y] \dfn x\,y\,x^{-1}\,y^{-1}. \]

Чем больше коммутант, тем <<более некоммутативна>> группа.

\begin{eqnarray*}
G & \rightsquigarrow & [G,G] \\
H \xrightarrow{f} G & \rightsquigarrow & [H,H] \xrightarrow{\left.f\right|_{[H,H]}} [G,G]
\end{eqnarray*}

\begin{exercise}
Убедиться, что это корректное определение, и коммутант функториален.
\end{exercise}

Можно также рассмотреть \term{центр} группы:

\[ C(G) \dfn \{ g\in G \mid \forall h\in G ~ h\,g = g\,h \}. \]

$C(G)$ есть абелева группа. Чем больше центр, тем группа <<более коммутативна>>. Можно было бы попробовать определить функтор $C\colon \categ{Gr} \to \categ{Ab}$, положив $G \rightsquigarrow C(G)$.

\begin{exercise}
Это нельзя достроить естественным образом до функтора.
\end{exercise}

Например, нельзя определить

\begin{eqnarray*}
H \xrightarrow{f} G & \rightsquigarrow & C(H) \xrightarrow{\left.f\right|_{C(H)}} C(G)
\end{eqnarray*}

\noindent--- возьмем абелеву группу $A$, для которой $C(A) = A$; однако она вкладывается в $S_n$, для которой $C(S_n) = 1$ при $n \ge 3$. Для стрелки $A \hookrightarrow S_n$ определение выше не имеет смысла.

\begin{exercise}
Тем не менее, центр функториален на категории групп и эпиморфизмов.
\end{exercise}

\term{Абелианизацией} группы $G$ называется группа

\[ G^{ab} \dfn G / [G,G]. \]

$G^{ab}$~--- это абелева группа (это максимальный абелев фактор $G$ по нормальной подгруппе $N \le G$, в том смысле что $G/N$ абелева iff $[G,G] \le N$).

${}^{ab}$ является функтором $\categ{Gr} \to \categ{Ab}$:

\begin{eqnarray*}
G & \rightsquigarrow & G^{ab} \\
H \xrightarrow{f} G & \rightsquigarrow & H^{ab} \xrightarrow{f^{ab}} G^{ab}
\end{eqnarray*}

\begin{exercise}
Проверить функториальность.
\end{exercise}

Такой же \emph{контра}вариантный функтор построить нельзя, но можно построить контравариантный функтор $\categ{FinGr} \to \categ{Ab}$ из категории \emph{конечных} групп.

\begin{eqnarray*}
G & \rightsquigarrow & G^{ab} \\
H \xrightarrow{f} G & \rightsquigarrow & G^{ab} \xrightarrow{f^*} H^{ab}
\end{eqnarray*}

Здесь $f^*$ называется \term{трансфером}. Придумать самостоятельно конструкцию было бы очень сложным упражнением (она может быть естественно сформулирована в терминах когомологий групп).

\vspace{2em}

В категории абелевых групп $\categ{Ab}$ для двух стрелок $\phi, \psi \in \Hom (B,C)$ поточечная сумма

\[ (\phi + \psi) (x) \dfn \phi(x) + \psi(x) \]

\noindent снова является стрелкой $\phi+\psi \in \Hom (B,C)$ (в отличии от ситуации в произвольной группе). Таким образом, $\Hom_\categ{Ab} (B,C)$ сам является объектом $\categ{Ab}$, поэтому в этой ситуации $\Hom (A,-)$ и $\Hom (-,A)$~--- это функторы $\categ{Ab} \to \categ{Ab}$.

\begin{exercise}
Продумать это (ковариантный и контравариантный случай).
\end{exercise}

$\categ{Ab}$ является частным примером \term{абелевых категорий}, о которых речь пойдет далее в курсе.

\subsection{Примеры функторов из категории колец}

\begin{definition}
Категория $\categ{C}$ называется \term{аддитивной}, если

\begin{enumerate}
\item На каждом множестве $\Hom_\categ{C} (X,Y)$ определено сложение, превращающее его в абелеву группу.

\item Композиция морфизмов дистрибутивна относительно сложения.

\begin{gather*}
\xymatrix{
X \ar[r]^f & Y\ar@/^0.5em/[r]^g \ar@/_0.5em/[r]_h & Z
} \quad\quad
\tag{i} f \, (g+h) = f\,g + f\,h;\\
\xymatrix{
X\ar@/^0.5em/[r]^f \ar@/_0.5em/[r]_g & Y\ar[r]^h & Z
} \quad\quad
\tag{ii} (f+g)\,h = f\,h + g\,h.
\end{gather*}
\end{enumerate}
\end{definition}

\noindent{\small \textbf{Внимание}: во многих книгах это называется \term{\emph{пред}аддитивной категорией}! Для \emph{аддитивной категории} также требуется, чтобы там существовал \emph{нулевой объект} (\emph{универсальный притягивающий} и \emph{универсальный отталкивающий} одновременно), а также конечные \emph{произведения} и \emph{копроизведения}. О том, что это такое~--- см. далее в лекциях. Мы пока будем считать аддитивной категорией то, что определено выше.}

\vspace{2em}

\noindent\textbf{Вопрос}: бывает ли в кольце дистрибутивность с одной стороны, но не с другой?\\
\textbf{Ответ}: например, можно взять кольцо многочленов $K[X]$, но в качестве умножения использовать композицию многочленов $\circ$. В таком случае выполняется дистрибутивность $(f+h)\circ h = f\circ h + g\circ h$, но \textbf{не} выполняется $f\circ (g+h) = f\circ g + f\circ h$ (это означает линейность $f$).

\begin{definition}
\term{Ассоциативным кольцом с единицей} называется аддитивная категория с одним объектом.
\end{definition}

\noindent (Точнее, в классическом понимании, ассоциативное кольцо~--- это $\Hom_\categ{C} (X,X)$ в такой категории.)

$\categ{Ass}$~--- категория ассоциативных колец с единицей и гомоморфизмов между ними.

\term{Гомоморфизмом ассоциативных колец с единицей} называется ковариантный аддитивный функтор между ними. (Контравариантный функтор называется \term{антигомоморфизмом}.)

\begin{definition}
Функтор $F\colon \categ{C} \to \categ{D}$ между аддитивными категориями называется (ковариантным) \term{аддитивным}, если он сохраняет композицию морфизмов, сложение и единицу:

\[ \xymatrix{
X\ar@/^0.5em/[r]^f \ar@/_0.5em/[r]_g & Y\ar[r]^h & Z
} \]

\begin{gather*}
\tag{i} F (f\circ g) = F(f) \circ F(g),\\
\tag{ii} F (g+h) = F(g) + F(h),\\
\tag{iii} F (1_X) = 1_{F(X)}.
\end{gather*}
\end{definition}

\vspace{2em}

После того как мы определили кольца, мы рассмотрим примеры функторов из категории $\categ{Ass}$.

\term{Забывающий функтор} $\categ{Ass} \to \categ{Ab}$ переводит кольцо $R$ в его аддитивную группу $R^+$:

\begin{eqnarray*}
(R,+,\cdot,1) & \rightsquigarrow & (R,+).
\end{eqnarray*}

Еще один забывающий функтор $\categ{Ass} \to \categ{Mon}$ переводит кольцо $R$ в его мультипликативный моноид $R^\times$:

\begin{eqnarray*}
(R,+,\cdot,1) & \rightsquigarrow & (R,\cdot).
\end{eqnarray*}

Наконец, также к забывающим относят \term{функтор мультипликативной группы} $\categ{Ass} \to \categ{Gr}$, который переводит кольцо $R$ в его группу обратимых элементов

\[ R^* \dfn \{ x\in R \mid \exists x^{-1} ~ x^{-1}\,x = x\,x^{-1} = 1 \}. \]

\noindent (Не путать $R^*$ с $R^\times$!)

\begin{eqnarray*}
(R,+,\cdot,1) & \rightsquigarrow & (R^*,\cdot).
\end{eqnarray*}

Функтор мультипликативной группы дает контрпример к популярному среди начинающих заблуждению, будто функтор переводит эпиморфизмы в эпиморфизмы. Рассмотрим проекцию на факторкольцо

\[ \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}. \]

Под действием функтора мультипликативной группы этот морфизм перейдет в

\[ 1 \to (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^*. \]

$\# (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^* = \phi (m)$, и это число не равно единице, если $m > 2$. Таким образом, функтор перевел сюръекцию в отображение, которое сюръекцией не является.

\vspace{2em}

Другой важный пример функтора~--- функтор $\categ{Ass} \to \categ{Ass}$, переводящий кольцо $R$ в кольцо $\mathcal{M} (n,R)$ матриц размера $n$ над кольцом $R$, где $n$ фиксировано.

\begin{eqnarray*}
R & \rightsquigarrow & \mathcal{M}(n,R),\\
R\xrightarrow{\phi}S & \rightsquigarrow & \mathcal{M}(n,R)\xrightarrow{\phi_*}\mathcal{M}(n,S),
\end{eqnarray*}

\noindent где стрелка $\mathcal{M}(n,R)\xrightarrow{\phi_*}\mathcal{M}(n,S)$ устроена так:

\[ (x_{ij}) \to (\phi(x_{ij})). \]

Напомним, что такое кольцо матриц $\mathcal{M}(n,R)$.

\begin{definition}
Фиксируем $n$ и рассмотрим \term{полугруппу стандартных матричных единиц}

\[ S \dfn \{0\} \cup \{ e_{ij} \mid 1 \le i,j \le n \} \]

\noindent со следующим умножением:

\begin{gather*}
0 \cdot e_{ij} \dfn e_{ij} \cdot 0 \dfn 0,\\
e_{ij} \cdot e_{hk} \dfn \left\{\begin{array}{ll}
e_{ik}, & j = h,\\
0, & j \ne h.
\end{array}\right.
\end{gather*}

\term{Кольцом матриц} $\mathcal{M} (n,R)$ называется множество всех формальных линейных комбинаций $e_{ij}$ с коэффициентами в $R$:

\[ \sum_{1 \le i,j \le n} x_{ij}\,e_{ij}, \quad x_{ij} \in R. \]

Полугрупповой ноль $0$ соответствует пустой сумме.

Сложение вводится следующим образом:

\[ \sum x_{ij}\,e_{ij} + \sum y_{ij}\,e_{ij} \dfn \sum (x_{ij}+y_{ij})\,e_{ij}. \]

Умножение дистрибутивно продолжается из определения

\[ (a\,e_{ij})\cdot (b\,e_{hk}) \dfn (a\,b)\,(e_{i\,j}\,e_{h\,k}). \]
\end{definition}

$\mathcal{M} (n,R)$ действительно получается ассоциативным кольцом, и единицей по умножению там будет $e \dfn e_{11} + e_{22} + \cdots + e_{nn}$.

\vspace{2em}

\term{Функтор полной линейной группы} $\GL_n\colon \categ{Ass} \to \categ{Gr}$ сопоставляет кольцу $R$ \term{полную линейную группу} $\GL (n,R) \dfn \mathcal{M} (n,R)^*$:

\begin{eqnarray*}
R & \rightsquigarrow & \GL (n,R),\\
R\xrightarrow{\phi}S & \rightsquigarrow & \GL(n,R)\xrightarrow{\GL_n(\phi)}\GL(n,S).
\end{eqnarray*}

\vspace{2em}

$\categ{Ring}$~--- это полная подкатегория в $\categ{Ass}$, состоящая из коммутативных колец.

Над коммутативными кольцами естественно рассматривать кольца многочленов и соответствующий функтор

\begin{eqnarray*}
\categ{Ring} & \to & \categ{Ring},\\
R & \rightsquigarrow & R[X].
\end{eqnarray*}

\section{Важнейшие классы морфизмов}

Мы рассмотрим следующие виды морфизмов:

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
мономорфизм & $\leftrightarrow$ & эпиморфизм \\
\invsubseteq & & \invsubseteq \\
коретракция & $\leftrightarrow$ & ретракция \\
инъекция & $\leftrightarrow$ & сюръекция
\end{tabular}
\end{center}

(Инъекция и сюръекция определяются для конкретных категорий.)

\begin{definition}
Морфизм $Y \xrightarrow{f} Z$ называется \term{мономорфизмом}, если для каждого $X$ и для каждой пары стрелок $X \xrightarrow{g,h} Y$ выполняется

\[ g\,f = h\,f \Rightarrow g = h. \]

\[ \xymatrix{
X\ar@/^0.5em/[r]^g \ar@/_0.5em/[r]_h & Y\ar[r]^f & Z
} \]
\end{definition}

\begin{definition}
Морфизм $X \xrightarrow{f} Y$ называется \term{эпиморфизмом}, если для каждого $Z$ и для каждой пары стрелок $Y \xrightarrow{g,h} Z$ выполняется

\[ f\,g = f\,h \Rightarrow g = h. \]

\[ \xymatrix{
X\ar[r]^f & Y\ar@/^0.5em/[r]^g \ar@/_0.5em/[r]_h & Z
} \]
\end{definition}

\begin{definition}
Морфизм $X \xrightarrow{f} Y$ называется \term{коретракцией}, если найдется такой морфизм $Y \xrightarrow{i} X$, что

\[ f\,i = 1_X. \]

\[ \xymatrix{
X\ar@/^0.5em/[r]^f\ar@(dl,ul)^{1_X} & Y \ar@/^0.5em/[l]^i
} \]
\end{definition}

\begin{definition}
Морфизм $X \xrightarrow{f} Y$ называется \term{ретракцией}, если найдется такой морфизм $Y \xrightarrow{j} X$, что

\[ j\,f = 1_Y. \]

\[ \xymatrix{
X\ar@/^0.5em/[r]^f & Y \ar@/^0.5em/[l]^j\ar@(ur,dr)^{1_Y}
} \]
\end{definition}

\begin{exercise}
В категории $\categ{Set}$
\begin{itemize}
\item мономорфизмы совпадают с коретракциями и инъекциями,
\item эпиморфизмы совпадают с ретракциями и сюръекциями
\end{itemize}

\noindent (второй пункт требует аксиомы выбора).
\end{exercise}

\begin{exercise}
В категории $\categ{Grp}$

\begin{itemize}
\item мономорфизмы совпадают с инъекциями,
\item эпиморфизмы совпадают с сюръекциями.
\end{itemize}
\end{exercise}

В категории $\categ{Top}$ топологических пространств соответствующие виды морфизмов не совпадают.

Изоморфизмы в категории $\categ{Top}$~--- \term{гомеоморфизмы}, т.е. непрерывные в обе стороны биекции. Но не всякая непрерывная в одну сторону биекция будет иметь \emph{непрерывное} обратное отображение.

Отображение $X \xrightarrow{f} Y$ называется \term{доминантным}, если его образ плотен в $Y$, т.е. $\overline{f(X)} = Y$. Эпиморфизмами в категории $\categ{Top}$ являются в точности доминантные непрерывные отображения.

\begin{exercise}
Легко проверить, что $\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$~--- эпиморфизм, т.е. что

\[ \xymatrix{\mathbb{Z}\ar[r]^f & \mathbb{Q} \ar@/^0.5em/[r]^f \ar@/_0.5em/[r]_g & R}
\quad\quad f\,g = g\,h \Rightarrow g = h. \]

\[ \forall n ~ g(n) = h(n) ~\Rightarrow~ \forall m \forall n ~ g\left(\frac{m}{n}\right) = h\left(\frac{m}{n}\right). \]
\end{exercise}

\begin{exercise}
\begin{itemize}
\item Если $f$ и $g$~--- мономорфизмы, то $f\,g$~--- мономорфизм.
\item Если $f$ и $g$~--- эпиморфизмы, то $f\,g$~--- эпиморфизм.
\item Если $f\,g$~--- мономорфизм, то $f$~--- мономорфизм.
\item Если $f\,g$~--- эпиморфизм, то $g$~--- эпиморфизм.
\end{itemize}
\end{exercise}

\begin{exercise}
\begin{itemize}
\item Если $f$~--- ретракция и мономорфизм, то $f$~--- изоморфизм.
\item Если $f$~--- коретракция и эпиморфизм, то $f$~--- изоморфизм.
\end{itemize}
\end{exercise}

\begin{exercise}
В конкретных категориях

\begin{itemize}
\item Если $f$~--- сюръекция, то $f$~--- эпиморфизм.
\item Если $f$~--- инъекция, то $f$~--- мономорфизм.
\item Если $f$~--- ретракция, то $f$~--- сюръекция.
\item Если $f$~--- коретракция, то $f$~--- инъекция.
\end{itemize}

Эти следствия можно обратить, если использовать аксиому выбора.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Подумать, что мономорфизм, эпиморфизм, коретракция и ретракция означают в категории, являющейся частично упорядоченным множеством.
\end{exercise}

Вернемся к вопросу о том, почему в категории $\categ{Grp}$ (в отличие от $\categ{Set}$) не всякий эпиморфизм является ретракцией. Говорят, что короткая точная последовательность групп

\[ \xymatrix{1\ar[r] & H\ar[r] & G\ar[r]^\phi & F\ar[r] & 1}  \]

\noindent \term{расщепляется}, если имеется сечение

\[ \xymatrix{1\ar[r] & H\ar[r] & G\ar@<0.2em>[r]^\phi & F\ar[r]\ar@<0.2em>[l]^\psi & 1}  \]

\noindent такое что $\phi\circ\psi = 1_F$. Это происходит iff $G$ есть \term{полупрямое произведение} $F \rightthreetimes H$ (т.е. $H \cap F = 1$, $H\cdot F = G$ и $H \trianglelefteq G$), и это более сильное требование, чем $F = G/H$, как в обычной короткой точной последовательности.

Стрелка $G \to F$~--- это эпиморфизм, а построение сечения по определению соответствовало бы тому, что это ретракция. Таким образом, не расщепляющиеся короткие точные последовательности дают примеры эпиморфизмов, не являющихся ретракциями.

Следующая короткая точная последовательность не расщепляется:

\[ \xymatrix{0\ar[r] & \mathbb{Z}\ar[r]^m & \mathbb{Z}\ar[r] & \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\ar[r] & 0}  \]

\noindent (Сечению некуда отобразить элементы $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$~--- они все имеют конечный порядок.)

Следующий пример дает \term{бинарная группа тетраэдра} $\widetilde{A}_4$, которая состоит из $24$ элементов: кватернионных единиц $1$, $i$, $j$, $k$, взятых со знаками $+$ и $-$, а также $16$ элементов вида $\frac{1}{2} (\pm 1 \pm i \pm j \pm k)$:

\[ \widetilde{A}_4 \dfn \{ \pm 1, \, \pm i, \, \pm j, \, \pm k, \, \frac{1}{2} (\pm 1 \pm i \pm j \pm k) \}. \]

\begin{exercise}
\begin{itemize}
\item Проверить, что это действительно группа.

\item Проверить, что $\widetilde{A}_4$ встраивается в короткую точную последовательность

\[ \xymatrix{1\ar[r] & C_2\ar[r] & \widetilde{A}_4\ar[r] & A_4\ar[r] & 1}  \]

\noindent где $C_2 = \{ \pm 1 \}$, а $A_4$~--- обычная знакопеременная группа.

\item Проверить, что эта последовательность не расщепляется.
\end{itemize}
\end{exercise}

Таким образом, мы убедились, что в категории $\categ{Grp}$ не всякий эпиморфизм является ретракцией.

Аналогичное происходит для колец. Не всегда возможно построить сечение

\[ \xymatrix{0\ar[r] & I\ar[r] & R\ar@<0.2em>[r] & R/I\ar[r]\ar@{-->}@<0.2em>[l] & 0}  \]

\section{Функторы двух аргументов}

\term{Функтор двух аргументов} (\term{бифунктор}) переводит пару объектов, соответственно из некоторых категорий $\categ{C}$ и $\categ{D}$, в объект какой-то категории $\categ{E}$. Есть четыре вида таких функторов:

\begin{enumerate}
\item[1)] дважды ковариантные,

\item[2)] ковариантные по первому и контравариантные по второму аргументу,

\item[3)] контравариантные по первому и ковариантные по второму аргументу,

\item[4)] дважды контравариантные.
\end{enumerate}

Мы выпишем определение только для 3-го вида.

\begin{definition}
Функтор $F\colon \categ{C}^*\times\categ{D} \to \categ{E}$, контравариантный по первому и ковариантный по второму аргументу, производит

\begin{enumerate}
\item[1)] сопоставление паре объектов из $\categ{C}$ и $\categ{D}$ объекта из $\categ{E}$:

\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
$(X$ & , & $U)$ & $\rightsquigarrow$ & $F (X,U)$\\
\invin & & \invin & & \invin \\
$\Ob \categ{C}$ & & $\Ob \categ{D}$ & & $\Ob \categ{E}$
\end{tabular}
\end{center}

\noindent а также

\item[2)] сопоставление паре морфизмов из $\categ{C}$ и $\categ{D}$ морфизма из $\categ{E}$:

\begin{eqnarray*}
(X\xrightarrow{f}Y, ~ U\xrightarrow{g}V) & \rightsquigarrow & F(Y,U) \xrightarrow{F(f,g)} F (X,V).
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

При этом выполняются следующие аксиомы.

\begin{enumerate}
\item[I.] Сохраняются тождественные морфизмы:

\[ F(1_X,1_U) = 1_{F(X,U)}. \]

\item[II.] Сохраняется композиция морфизмов. А именно, если есть композиция морфизмов $X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z$ в $\mathcal{C}$ и композиция морфизмов $U \xrightarrow{k} V \xrightarrow{l} Z$ в $\mathcal{D}$, тогда

\[ F (f\circ g, \, k\circ l) = F(f,k)\circ F(g,l). \]
\end{enumerate}
\end{definition}

\noindent (Смысл записи $\categ{C}^* \times \categ{D}$ для аргументов бифунктора прояснится чуть позже.)

\begin{exercise}
Выписать аксиомы для остальных трех видов бифункторов.
\end{exercise}

\vspace{2em}

Основным примером служит \term{главный функтор} $\categ{C}^* \times \categ{C} \to \categ{Set}$. Паре $(X,Y)$ он сопоставляет $\Hom_\categ{C} (X,Y)$, а морфизмы отображает так:

\begin{eqnarray*}
(X\xrightarrow{f}Y, ~ U\xrightarrow{g}V) & \rightsquigarrow & \Hom_\categ{C} (Y,U) \xrightarrow{F(f,g)} \Hom_\categ{C} (X,V),
\end{eqnarray*}

\noindent где $F(f,g)$ действует как

\begin{eqnarray*}
Y\xrightarrow{h}U & \mapsto & X\xrightarrow{f} Y \xrightarrow{h} U \xrightarrow{g} V.
\end{eqnarray*}

\begin{exercise}
Проверить, что это бифунктор, контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму.
\end{exercise}

\vspace{2em}

\begin{definition}
\term{Произведением} $\categ{C}\times\categ{D}$ категорий $\categ{C}$ и $\categ{D}$ называется категория с классом объектов

\[ \Ob (\categ{C}\times\categ{D}) \dfn \Ob\categ{C}\times\Ob\categ{D} \]

\noindent и множествами морфизмов

\[ \Hom_{\categ{C}\times\categ{D}} ((X,Y),\,(U,V)) \dfn \Hom_\categ{C} (X,U) \times \Hom_\categ{D} (Y,V). \]

Единичные морфизмы есть $1_{(X,Y)} \dfn (1_X,1_Y)$, а композиция $(X,U) \xrightarrow{(f,k)} (Y,V) \xrightarrow{(g,l)} (Z,W)$ определяется как

\[ (f,k)\circ (g,l) \dfn (f\circ g, ~ k\circ l). \]
\end{definition}

\vspace{2em}

Теперь видно, что бифунктор~--- это функтор \emph{одного} аргумента из произведения категорий $\categ{C}\times\categ{D}$, $\categ{C}^*\times\categ{D}$, $\categ{C}\times\categ{D}^*$, либо $\categ{C}^*\times\categ{D}^*$. Таким образом, изучать бифункторы как отдельные объекты не имеет смысла, хотя и бывает удобно считать, что мы работаем с функтором от нескольких аргументов.

\section{Пределы и копределы}

\subsection{Универсальные объекты}

\begin{definition}
$X\in \Ob\categ{C}$ называется \term{универсальным отталкивающим объектом} (initial object), если для всякого объекта $Y\in\Ob\categ{C}$ существует в точности один морфизм $X \xrightarrow{f} Y$.

$X\in \Ob\categ{C}$ называется \term{универсальным притягивающим объектом} (terminal object), если для всякого объекта $Y\in\Ob\categ{C}$ существует в точности один морфизм $Y \xrightarrow{f} X$.

Если $X$ одновременно является универсальным отталкивающим и притягивающим, то он называется \term{нулевым объектом}.
\end{definition}

Понятно, что все универсальные отталкивающие (притягивающие) объекты единственны с точностью до единственного изоморфизма.

\vspace{2em}

Примеры универсальных объектов:

\begin{enumerate}
\item В категории множеств $\categ{Set}$ пустое множество $\emptyset$ есть универсальный отталкивающий объект, а любое одноэлементное множество $\{*\}$~--- универсальный притягивающий объект.

\item В категории множеств с отмеченной точкой $\categ{Set}_\bullet$ множество $\{\bullet\}$, состоящее из отмеченной точки, является одновременно универсальным отталкивающим и притягивающим объектом, то есть нулевым.

\item В категории групп $\categ{Grp}$ единичная группа $\{1\}$ является нулевым объектом.

\item В категории колец с единицей универсальным отталкивающим объектом является кольцо $\mathbb{Z}$, а универсального притягивающего объекта нет (?).

В категории колец без единиц нулевое кольцо $\{0\}$ является нулевым объектом.

\item В категории предпорядка универсальными объектами являются наименьшие или наибольшие элементы.
\end{enumerate}

\subsection{Примеры универсальных конструкций}

Фиксируем множество $X$ и рассмотрим категорию $\categ{C}$, объектами которой являются все отображения вида $X \xrightarrow{\phi} A$, где $A \in \Ob\categ{Ab}$~--- абелева группа, а морфизмами являются множества

\[ \Hom_\categ{C} (X\xrightarrow{\phi}A,\,X\xrightarrow{\psi}B) \dfn \{ A \xrightarrow{\eta} B \mid \phi\,\eta = \psi \}. \]

\[ \xymatrix{
 & X\ar[dl]_\phi\ar[dr]^\psi & \\
A\ar@{-->}[rr]_\eta & & B \\
} \]

Универсальным отталкивающим объектом в такой категории будет \term{свободная абелева группа с базисом $X$}

\[ \mathbb{Z}^{(X)} = \bigoplus_{x\in X} \mathbb{Z}. \]

Иначе говоря, это множество отображений $X \to \mathbb{Z}$, которые почти всюду нулевые, с поточечным сложением.

Для конечного множества $X = \{ x_1, \ldots, x_n \}$ свободной абелевой группой будет $\mathbb{Z}^{\oplus n}$, и  $n$ называется ее \term{рангом}.

\begin{exercise}
Рассмотрим категорию отображений из конечного множества $X = \{ x_1, \ldots, x_n \}$ в коммутативные кольца с единицей. Морфизмы в такой категории определим аналогичным образом. Есть ли в этой категории универсальный отталкивающий объект? Что это такое?
\end{exercise}

\subsection{Произведения и копроизведения}

\begin{definition}
Пусть $A, B \in \Ob (\categ{C})$. \term{Произведением} $A$ и $B$ называется объект $A\times B \in \Ob (\categ{C})$ с морфизмами $A\times B \xrightarrow{\pr_1} A$ и $A\times B \xrightarrow{\pr_2} B$, такими что для всякого объекта $T \in \Ob (\categ{C})$ и любых морфизмов $T \xrightarrow{p} A$ и $T \xrightarrow{q} B$ существует единственный морфизм $T \xrightarrow{r} A\times B$, при котором $p = r\circ\pr_1$ и $q = r\circ\pr_2$.

\[ \xymatrix{
  & T\ar@{-->}^r[d]\ar@/_1.5em/[ddl]_p\ar@/^1.5em/[ddr]^q & \\
  & A\times B\ar[dl]_{\pr_1}\ar[dr]^{\pr_2} & \\
A &   & B
} \]
\end{definition}

Если произведение объектов существует, то оно единственно с точностью до единственного изоморфизма. Действительно, если есть два произведения $P$ и $P^\prime$, то из универсального свойства в определении получается изоморфизм $P \isom P^\prime$.

\[ \xymatrix{
  & P^\prime\ar@<-0.2em>@{-->}[d]_r\ar@<+0.2em>@{<--}[d]^s \ar@/_1.5em/[ddl]_{\pr_1^\prime}\ar@/^1.5em/[ddr]^{\pr_2^\prime} & \\
  & P\ar[dl]_{\pr_1}\ar[dr]^{\pr_2} & \\
A &   & B
} \]

\[ \xymatrix{
  & P \ar@/_1.5em/[dddl]\ar@/^1.5em/[dddr]\ar[d]^s\ar@/_1em/[dd]_{1_P} & \\
  & P^\prime\ar[d]^r\ar[ddl]\ar[ddr] & \\
  & P\ar[dl]\ar[dr] & \\
A &   & B
} \quad\quad \xymatrix{
  & P^\prime \ar@/_1.5em/[dddl]\ar@/^1.5em/[dddr]\ar[d]^r\ar@/_1em/[dd]_{1_{P^\prime}} & \\
  & P\ar[d]^s\ar[ddl]\ar[ddr] & \\
  & P^\prime\ar[dl]\ar[dr] & \\
A &   & B
} \]

\[ s\,r = 1_P, \quad r\,s = 1_{P^\prime}. \]

\vspace{2em}

Как обычно, объект, удовлетворяющий универсальному свойству, можно ввести как универсальный объект некоторой категории. Фиксируем категорию $\categ{C}$ и объекты $A,B \in \Ob (\categ{C})$. Рассмотрим категорию $\categ{D}$, объектами которой являются тройки $(T,p,q)$, где $T \in \Ob (\categ{C})$, а $p$ и $q$~--- морфизмы в $A$ и $B$:

\[ \xymatrix{
 & T\ar[dl]_p\ar[dr]^q & \\
A & & B
} \]

Морфизмами $(T,p,q) \xrightarrow{\phi} (T^\prime,p^\prime,q^\prime)$ между двумя такими тройками будут стрелки, при которых диаграмма коммутативна:

\[ \xymatrix{
 & T\ar[dl]_p\ar[drr]^q\ar[r]^\phi & T^{\prime}\ar[dll]_{p^\prime}\ar[dr]^{q^\prime} & \\
A & & & B
} \]

Легко проверить, что $\categ{D}$ действительно образует категорию, и универсальный притягивающий объект в ней~--- это произведение $A\times B$.

\vspace{2em}

Примеры:

\begin{enumerate}
\item Произведения существуют для любых объектов в категориях $\categ{Set}$ (декартово произведение множеств), $\categ{Top}$ (прямое произведение топологических пространств), $\categ{Vect}_k$ (прямое произведение векторных пространств), $\categ{Grp}$ (прямое произведение групп).

\item Если $\categ{C}$~--- частично упорядоченное множество, то для объектов $a, b \in \Ob(\categ{C})$ прямое произведение есть наибольшая нижняя грань $a \cap b$. Понятно, что оно существует не всегда.

\[ \xymatrix@C=0.5em@R=0.5em{
  & & b\ar@{-}[ddl] \\
a\ar@{-}[dr] & & \\
  & a \cap b &
} \]
\end{enumerate}

\vspace{2em}

\begin{exercise}
Функтор $\Hom_\categ{C} (A,-) \times \Hom_\categ{C} (B,-)$, $\categ{C} \to \categ{Set}$, представим iff в $\categ{C}$ существует произведение $A\times B$.
\end{exercise}

\vspace{2em}

\begin{definition}
Пусть $A, B \in \Ob (\categ{C})$. \term{Копроизведением} $A$ и $B$ называется объект $A\sqcup B \in \Ob (\categ{C})$ с морфизмами $A \xrightarrow{i_1} A\sqcup B$ и $B \xrightarrow{i_2} A\sqcup B$, такими что для всякого объекта $T \in \Ob (\categ{C})$ и любых морфизмов $A \xrightarrow{p} T$ и $B \xrightarrow{q} T$ существует единственный морфизм $A\sqcup B \xrightarrow{r} T$, при котором $p = i_1\circ r$ и $q = i_2\circ q$.

\[ \xymatrix{
  & T\ar@{<--}^r[d]\ar@{<-}@/_1.5em/[ddl]_p\ar@{<-}@/^1.5em/[ddr]^q & \\
  & A\sqcup B\ar@{<-}[dl]_{i_1}\ar@{<-}[dr]^{i_2} & \\
A &   & B
} \]
\end{definition}

Если копроизведение объектов существует, то оно единственно с точностью до единственного изоморфизма.

Примеры:

\begin{enumerate}
\item В категории $\categ{Set}$ копроизведение~--- это дизъюнктное объединение множеств

\[ A\sqcup B \dfn \{1\}\times A \, \cup \, \{2\}\times B. \]

\item В категории $\categ{Set}_\bullet$ копроизведение~--- это дизъюнктное объединение, склеивающее отмеченные точки.

\item В категории $\categ{Top}$ копроизведение~--- это дизъюнктное объединение топологических пространств.

\item В категории $\categ{Grp}$ копроизведение~--- это свободное произведение групп $A \mathop{*} B$.

\item В категории $\categ{Ab}$ копроизведение, а также произведение~--- это прямая сумма абелевых групп $A \oplus B$.

\item В частично упорядоченном множестве копроизведение $a, b \in \Ob(\categ{C})$~--- это наименьшая верхняя грань $a\cup b$.

\[ \xymatrix@C=0.5em@R=0.5em{
  & a \cup b & \\
  & & b\ar@{-}[ul] \\
a\ar@{-}[uur] & &
} \]

\item В категории $\categ{Ring}$ копроизведение~--- это тензорное произведение колец $A \otimes_\mathbb{Z} B$.
\end{enumerate}

\vspace{2em}

Произведение и копроизведение можно определить для произвольного семейства объектов.

\begin{definition}
Пусть $(A_i)_{i\in I}$~--- семейство объектов в категории $\categ{C}$. Их \term{произведением} называется объект $\prod_{i\in I} A_i \in \Ob (\categ{C})$ с морфизмами $\prod_{i\in I} A_i \xrightarrow{\pr_j} A_j$, такими что для всякого объекта $T \in \Ob (\categ{C})$ и любого семейства морфизмов $T \xrightarrow{p_j} A_j$ существует единственный морфизм $T \xrightarrow{r} \prod_{i\in I} A_i$, при котором $p_j = r\circ\pr_j$ для всех $j\in I$.

\[ \xymatrix{
  & T\ar@{-->}^r[dr]\ar[dl]_{p_j} & \\
A_j \ar@{<-}[rr]_{\pr_j} & & \prod_{i\in I} A_i \\
} \]
\end{definition}

\begin{exercise}
Показать, что произведения ассоциативны:

\[ A\times B\times C \isom (A\times B)\times C \isom A\times(B\times C). \]
\end{exercise}

Понятно, как соответствующим образом определить копроизведение $\coprod_{i\in I} A_i$, а также определить произведения (копроизведения) семейств как универсальные объекты в некоторой специальной категории.

\vspace{2em}

В категории $\categ{Ab}$ вообще говоря $\prod_{i\in I} A_i \not\isom \coprod_{i\in I} A_i$, если $I$ бесконечно. Например, если $I \isom \mathbb{N}$, то произведение $\prod_{i\in \mathbb{N}} A_i$ есть множество всех последовательностей с покомпонентным сложением, а копроизведение $\coprod_{i\in \mathbb{N}} A_i$ есть множество всех последовательностей, в которых почти все элементы нулевые, то есть прямая сумма $\bigoplus_{i\in \mathbb{N}} A_i$. Если $A_i$ счетные, то это разные вещи по соображениям мощности ($\prod_{i\in \mathbb{N}} A_i$ несчетно, а $\bigoplus_{i\in \mathbb{N}} A_i$ счетно).

\vspace{2em}

В частном случае $I = \emptyset$ произведение по определению дает универсальный притягивающий объект категории, а копроизведение~--- универсальный отталкивающий.

\subsection{Расслоенные произведения и копроизведения}

Теперь мы рассмотрим обобщение произведений и копроизведений.

\begin{definition}
Фиксируем категорию и ее объекты $A, B, C$, а также пару морфизмов $A \xrightarrow{f} C$ и $B \xrightarrow{g} C$. \term{Расслоенным произведением} $A$ и $B$ над $C$ называется объект $A\times_C B$ с морфизмами $A\times_C B \xrightarrow{\pr_1} A$ и $A\times_C B \xrightarrow{\pr_2} B$, такими что для всякого объекта $T$ и любых морфизмов $T \xrightarrow{p} A$ и $T \xrightarrow{q} B$, при которых $p\circ f = q\circ g$, существует единственный морфизм $T \xrightarrow{r} A\times_C B$, такой что $p = r\circ\pr_1$ и $q = r\circ\pr_2$.

\[ \xymatrix{
T \ar@{-->}[dr]^r\ar@/^1em/[drr]^q\ar@/_1em/[ddr]_p & \\
& A\times_C B \ar[r]^{\pr_2} \ar[d]_{\pr_1} & B \ar[d]^g \\
& A \ar[r]_f & C
} \]

Квадрат в этой диаграмме называется \term{декартовым квадратом}, или \term{коуниверсальным квадратом}, или \term{pullback}'ом. Так же могут называть $A\times_C B$.
\end{definition}

Аналогично определяется \term{расслоенное копроизведение} $A \sqcup_C B$:

\[ \xymatrix{
C \ar[r]^g \ar[d]_f & B \ar[d]^{i_2} \ar@/^1em/[ddr]^q \\
A \ar[r]_{i_1} \ar@/_1em/[drr]_p & A \sqcup_C B \ar@{-->}[dr]^r \\
 & & T
} \]

Квадрат в этой диаграмме называется \term{декартовым коквадратом}, или \term{универсальным квадратом}, или \term{pushout}'ом.

\begin{exercise}
Стрелка $A \xrightarrow{f} B$ является эпиморфизмом iff следующий квадрат универсален:

\[ \xymatrix{A \ar[r]^f\ar[d]_f & B \ar[d]^{1_B} \\
B\ar[r]_{1_B} & B} \]
\end{exercise}

Примеры:

\begin{enumerate}
\item Pullback в категории $\categ{Set}$ есть

\[ A \times_C B = \{ (a,b)\in A\times B \mid f(a) = g(b) \}. \]

\item Pushout в категории $\categ{Set}$ есть

\[ A \sqcup_C B = A \sqcup B /\!\!\sim, \]

\noindent где $i_1 (f(c)) \sim i_2 (g(c))$.

\item Pushout в категории $\categ{Ring}$ есть тензорное произведение $A\otimes_C B$.

\[ \xymatrix{
C \ar[r] \ar[d] & B \ar[d] \ar@/^1em/[ddr] \\
A \ar[r] \ar@/_1em/[drr] & A \otimes_C B \ar@{-->}[dr] \\
 & & T
} \]

\item Если в категории существует универсальный притягивающий объект, то pullback над ним является произведением.

\[ \xymatrix{
T \ar@{-->}[dr]\ar@/^1em/[drr]\ar@/_1em/[ddr] & \\
& A\times B \ar[r] \ar[d] & B \ar[d] \\
& A \ar[r] & \bullet
} \]

\item Если в категории существует универсальный отталкивающий объект, то pushout над ним является копроизведением.

\[ \xymatrix{
\bullet \ar[r] \ar[d] & B \ar[d] \ar@/^1em/[ddr] \\
A \ar[r] \ar@/_1em/[drr] & A \sqcup B \ar@{-->}[dr] \\
 & & T
} \]
\end{enumerate}

\subsection{Пределы и копределы}

Рассмотрим проекцию $S \xrightarrow{p} S/\!\!\sim$ множества $S$ на фактормножество $S/\!\!\sim$ по отношению эквивалентности $\sim$. Для всякого отображения $S \xrightarrow{f} X$, такого что

\[ \tag{*} s \sim s^\prime \Rightarrow f (s) = f (s^\prime), \]

\noindent найдется единственное отображение $S/\!\!\sim \xrightarrow{\widetilde{f}} X$, делающее следующую диаграмму коммутативной:

\[ \xymatrix{S \ar[r]^p\ar[dr]_f & S/\!\!\sim \ar@{-->}[d]^{\widetilde{f}} \\
 & X} \]

Благодаря такому универсальному свойству, мы можем рассмотреть категорию, объектами которой являются отображения $S \xrightarrow{f} X$, для которых выполняется (*), а морфизмами~--- отображения $X_1 \xrightarrow{\phi} X_2$, при которых следующая диаграмма коммутативна:

\[ \xymatrix{S \ar[r]^{f_1}\ar[dr]_{f_2} & X_1 \ar@{->}[d]^{\phi} \\
 & X_2} \]

Тогда универсальный отталкивающий объект в этой категории~--- фактормножество и проекция на него $S \xrightarrow{p} S/\!\!\sim$.

Аналогично получается конструкция факторгруппы (работаем в категории $\categ{Grp}$ и фиксируем группу $G$ с нормальной подгруппой $N \trianglelefteq G$, а от гомоморфизмов $f$ требуем $N \le \ker f$).

\pagebreak

\noindent\begin{tabular}{|p{15.5cm}|}
\hline
1 ноября речь шла о пределах и копределах; также были определены естественные преобразования. Конспекта нет, но ниже для полноты приводятся какие-то общие слова насчет пределов. Определение естественного преобразования можно найти в дальнейших лекциях. Слушатели могут прислать свои записки в группу \texttt{coxeter@googlegroups.com}.\\
\hline
\end{tabular}

\vspace{2em}

\begin{definition}
\term{Диаграммой} в категории $\categ{C}$ называется ковариантный функтор $F\colon \categ{J} \to \categ{C}$. Категория $\categ{J}$ называется \term{индексирующей}.
\end{definition}

В частности, если $\categ{J}$~--- дискретная категория (нет никаких морфизмов кроме кроме тождественных), то это всё означает, что мы индексируем класс $\Ob (\categ{C})$ другим классом $\Ob (\categ{J})$.

\vspace{1em}

\noindent{\small\textbf{Замечание}. Естественное преобразование двух диаграмм можно считать морфизмом между ними, и диаграммы образуют категорию $\Funct (\categ{J},\categ{C})$. Что это всё такое~--- см. ниже в разделе <<2-категории>>.}

\vspace{1em}

\begin{definition}
Для диаграммы $F\colon \categ{J} \to \categ{C}$ \term{конусом} называется объект $C \in \Ob (\categ{C})$ вместе с семейством морфизмов $C \xrightarrow{\phi_X} F(X)$ для всех $X \in \Ob(\categ{J})$, таким что для всякого морфизма $X \xrightarrow{f} Y$ из $\categ{J}$ следующая диаграмма в $\categ{C}$ коммутативна:

\[ \xymatrix{
 & C\ar[dl]_{\phi_X}\ar[dr]^{\phi_Y} & \\
F(X)\ar[rr]_{F(f)} & & F(Y)
} \]
\end{definition}

\begin{definition}
\term{Пределом} диаграммы $F\colon \categ{J} \to \categ{C}$ называется такой конус $(C,\phi)$, что для любого другого конуса $(C^\prime,\phi^\prime)$ найдется единственный морфизм $C^\prime \xrightarrow{r} C$, такой что для всякого $X \in \Ob (\categ{J})$ выполняется $r\,\phi_X = \phi_X^\prime$:

\[ \xymatrix{
 & C^\prime\ar@{-->}[d]^{\exists! r}\ar[dl]_{\phi^\prime_X} \\
F(X) & C\ar[l]^{\phi_X}
} \]

Таким образом, возникают коммутативные диаграммы

\[ \xymatrix{
 & C^\prime\ar@{-->}[d]^{\exists! r}\ar@/_1em/[ddl]_{\phi_X^\prime}\ar@/^1em/[ddr]^{\phi_Y^\prime} & \\
 & C\ar[dl]_{\phi_X}\ar[dr]^{\phi_Y} & \\
F(X)\ar[rr]_{F(f)} & & F(Y)
} \]
\end{definition}

Если индексирующая категория $\categ{J}$ конечная (счетная), то и предел называют \term{конечным} (\term{счетным}).

\begin{enumerate}
\item Если $\categ{J}$~--- категория без объектов, то для всякой категории $\categ{C}$ существует единственная \term{пустая диаграмма} $\categ{J} \to \categ{C}$. Конус над такой диаграммой~--- это просто объект $X \in \Ob (\categ{C})$. Предел пустой диаграммы~--- это универсальный притягивающий объект.

\item Если $\categ{J}$~--- дискретная категория (все стрелки~--- тождественные $1_X$), то диаграмма $\categ{J} \to \categ{C}$ в точности индексирует объекты $\categ{C}$. Предел такой диаграммы называется \term{произведением} объектов, индексированных $\categ{J}$. В частности, таким образом получается определенное ранее произведение пары объектов из $\categ{C}$.

\[ \xymatrix{
  & \bullet\ar@{-->}^{\exists!}[d]\ar@/_1.5em/[ddl]\ar@/^1.5em/[ddr] & \\
  & A\times B\ar[dl]_{\pr_1}\ar[dr]^{\pr_2} & \\
A &   & B
} \]

\item Возьмем теперь такую диаграмму: пусть $\categ{J}$ индексирует в точности три объекта $A,B,C \in \Ob(\categ{C})$, и только две стрелки $A \xrightarrow{f} C$ и $B \xrightarrow{g} C$ (не считая тождественных). Пределом этой диаграммы будет расслоенное произведение $A\times_C B$ (pullback):

\[ \xymatrix{
\bullet \ar@{-->}[dr]\ar@/^1em/[drr]\ar@/_1em/[ddr] & \\
& A\times_C B \ar[r]^{\phi_B} \ar[d]_{\phi_A} \ar[dr]^{\phi_C} & B \ar[d]^g \\
& A \ar[r]_f & C
} \]
\end{enumerate}

\vspace{2em}

Если теперь развернуть стрелки, то получатся \emph{ко}конусы и \emph{ко}пределы.

\begin{definition}
Для диаграммы $F\colon \categ{J} \to \categ{C}$ \term{коконусом} называется объект $C \in \Ob (\categ{C})$ вместе с семейством морфизмов $F(X) \xrightarrow{\phi_X} C$ для всех $X \in \Ob(\categ{J})$, таким что для всякого морфизма $X \xrightarrow{f} Y$ из $\categ{J}$ следующая диаграмма в $\categ{C}$ коммутативна:

\[ \xymatrix{
F(X)\ar[rr]^{F(f)}\ar[dr]_{\phi_X} & & F(Y)\ar[dl]^{\phi_Y} \\
 & C &
} \]
\end{definition}

\begin{definition}
\term{Копределом} диаграммы $F\colon \categ{J} \to \categ{C}$ называется такой коконус $(C,\phi)$, что для любого другого коконуса $(C^\prime,\phi^\prime)$ найдется единственный морфизм $C \xrightarrow{r} C^\prime$, такой что для всякого $X \in \Ob (\categ{J})$ выполняется $\phi_X\,r = \phi_X^\prime$:

\[ \xymatrix{
F(X)\ar[dr]_{\phi_X^\prime}\ar[r]^{\phi_X} & C\ar@{-->}[d]^{\exists! r} \\
 & C^\prime
} \]

Таким образом, возникают коммутативные диаграммы

\[ \xymatrix{
F(X)\ar[rr]^{F(f)}\ar[dr]_{\phi_X}\ar@/_1em/[ddr]_{\phi_X^\prime} & & F(Y)\ar[dl]^{\phi_Y}\ar@/^1em/[ddl]^{\phi_Y^\prime} \\
 & C\ar@{-->}[d]^{\exists! r} & \\
 & C^\prime &
} \]
\end{definition}

\begin{enumerate}
\item Если $\categ{J}$~--- категория без объектов, то для всякой категории $\categ{C}$ существует единственная \term{пустая диаграмма} $\categ{J} \to \categ{C}$. Коконус над такой диаграммой~--- это просто объект $X \in \Ob (\categ{C})$. Копредел пустой диаграммы~--- это универсальный отталкивающий объект.

\item Если $\categ{J}$~--- дискретная категория, то диаграмма $\categ{J} \to \categ{C}$ в точности индексирует объекты $\categ{C}$. Копредел такой диаграммы называется \term{копроизведением} объектов, индексированных $\categ{J}$. В частности, таким образом получается определенное ранее копроизведение пары объектов из $\categ{C}$.

\[ \xymatrix{
A\ar[dr]_{i_1}\ar@/_1em/[ddr] & & B\ar[dl]^{i_2}\ar@/^1em/[ddl] \\
 & A\sqcup B\ar@{-->}[d]^{\exists!} & \\
 & \bullet &
} \]

\item  Возьмем теперь такую диаграмму: пусть $\categ{J}$ индексирует в точности три объекта $A,B,C \in \Ob(\categ{C})$, и только две стрелки $C \xrightarrow{f} A$ и $C \xrightarrow{g} B$ (не считая тождественных). Копределом этой диаграммы будет расслоенное копроизведение $A\sqcup_C B$ (pushout):

\[ \xymatrix{
C \ar[r]^g \ar[d]_f \ar[dr]^{\phi_C} & B \ar[d]^{\phi_B} \ar@/^1em/[ddr] \\
A \ar[r]_{\phi_A} \ar@/_1em/[drr] & A \sqcup_C B \ar@{-->}[dr] \\
 & & \bullet
} \]
\end{enumerate}

\subsection{Обратные и прямые пределы}

В качестве индексирующей категории $\categ{J}$ может выступать частично упорядоченное множество \mbox{$(J,\le)$} (в категории $\categ{J}$ стрелка $i \to j$ будет означать $i \le j$). Тогда копредел диграммы $F\colon \categ{J} \to \categ{C}$ называется \term{прямым пределом} (\term{инъективным пределом}, $\varinjlim$).

Конструкцию прямого предела можно пересказать чуть подробнее.

\begin{definition}
\term{Направленным множеством} называется непустое частично упорядоченное множество $(J,\le)$, в котором для любых $i, j\in J$ найдется $k\in J$, такой что $i \le k$ и $i \le k$.
\end{definition}

\begin{definition}
Пусть имеется направленное множество $(J,\le)$ и задано семейство $\{X_i\}_{i\in J}$ объектов категории $\categ{C}$, так что выполняются следующие свойства:

\begin{enumerate}
\item Для всех $i \le j$ задан морфизм $X_i \xrightarrow{f_j^i} X_j$.

\item Для всех $i \le j \le k$ выполнено

\begin{gather*}
f_j^i\,f_k^j = f_k^i,\\
f_i^i = 1_{X_i}.
\end{gather*}

\[ \xymatrix{
X_i\ar[rr]^{f_j^i}\ar[dr]_{f_k^i} & & X_j\ar[dl]^{f_k^j} \\
 & X_k &
} \]
\end{enumerate}

Тогда говорят, что морфизмы $f_j^i$ образуют \term{прямое семейство} (\emph{directed family}).
\end{definition}

На последней диаграмме изображен коконус. Если взять копредел по ним (универсальный отталкивающий коконус), то получится объект

\[ X \rdfn \varinjlim_{i\in J} X_i. \]

\noindent--- \term{прямой предел} соответствующего семейства объектов и морфизмов.

\[ \xymatrix{
X_i\ar[rr]^{f_j^i}\ar[dr]_{f^i}\ar@/_1em/[ddr] & & X_j\ar[dl]^{f^j}\ar@/^1em/[ddl] \\
 & X\ar@{-->}[d]^{\exists!} & \\
 & \bullet &
} \]

Простой пример: пусть $X_i$~--- множества, частично упорядоченные по включению, и пусть они образуют прямое семейство. Тогда

\[ \varinjlim X_i = \bigcup_i X_i. \]

Прямые пределы существуют в категории $\categ{Ab}$ абелевых групп и вообще в категории $R\text{-}\categ{Mod}$ модулей над кольцом.

\vspace{2em}

Если, как и выше, индексирующая категория $\categ{J}$ является частично упорядоченным множеством, то предел диаграммы $F\colon \categ{J}^* \to \categ{C}$ называется \term{обратным пределом} (\term{проективным пределом}, $\varprojlim$). Это можно описать подробнее.

\begin{definition}
Пусть имеется направленное множество $(J,\le)$ и задано семейство $\{X_i\}_{i\in J}$ объектов категории $\categ{C}$, так что выполняются следующие свойства:

\begin{enumerate}
\item Для всех $i \le j$ задан морфизм $X_j \xrightarrow{f_i^j} X_i$.

\item Для всех $i \le j \le k$ выполнено

\begin{gather*}
f_j^k\,f_i^j = f_i^k,\\
f_i^i = 1_{X_i}.
\end{gather*}

\[ \xymatrix{
 & X_k\ar[dr]^{f_j^k}\ar[dl]_{f_i^k} & \\
X_i & & X_j\ar[ll]^{f_i^j}
} \]
\end{enumerate}

Тогда говорят, что морфизмы $f_i^j$ образуют \term{обратное семейство} (\emph{inverse family}).
\end{definition}

На последней диаграмме изображен конус. Если взять предел по ним (универсальный притягивающий конус), то получится объект

\[ X \rdfn \varprojlim_{i\in J} X_i. \]

\noindent--- \term{обратный предел} соответствующего семейства объектов и морфизмов.

\[ \xymatrix{
 & \bullet\ar@{-->}[d]^{\exists!}\ar@/^1em/[ddr]\ar@/_1em/[ddl] & \\
 & X\ar[dr]^{f_j}\ar[dl]_{f_i} & \\
X_i & & X_j\ar[ll]^{f_i^j}
} \]

Обратные пределы существуют в категории групп $\categ{Grp}$, категории $R\text{-}\categ{Mod}$ модулей над кольцом, а также в категории колец $\categ{Ring}$.

Скажем, в категории $\categ{Grp}$ это описывается так. Пусть задана обратная система групп $G_i$. Возьмем их произведение $G \dfn \prod G_i$ и рассмотрим множество элементов

\[ \Gamma \dfn \{ (x_i)_{i\in G_i} \mid f_i^j (x_j) = x_i \text{ для всех } i \le j \}. \]

Можно убедиться, что $\Gamma \le G$~--- подгруппа. Это и есть обратный предел $\varprojlim G_i$. Аналогично устроен обратный предел в $R\text{-}\categ{Mod}$ и $\categ{Ring}$.

\begin{itemize}
\item Фиксируем простое число $p$. Для всяких $m \le n$ существует канонический сюръективный гомоморфизм колец

\[ f_m^n\colon \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z}. \]

Обтратный предел такой системы

\[ \mathbb{Z}_p \dfn \varprojlim \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \]

\noindent называется \term{кольцом $p$-адических чисел}.

\item Для всяких $m \le n$ существует канонический гомоморфизм колец

\[ f_m^n\colon k[t]/(t^n) \to k[t]/(t^m). \]

Кольцо формальных степенных рядов от $t$ есть обратный предел такой системы:

\[ k[[t]] = \varprojlim k[t]/(t^n). \]
\end{itemize}

\section{Дополнительные примеры произведений в различных категориях}

\subsection{Произведение в категории $\categ{Set}_\bullet$}

В категории $\categ{Set}_\bullet$ прямое произведение устроено так:

\[ (X,x)\times (Y,y) = (X\times Y \,/\! \sim, ~ (x,y)), \]

\noindent где $\sim$~--- отношение эквивалентности, порожденное отношением

\[ (u,v) \sim (w,z) \text{, если } u = w = x \text{ или } v = z = y. \]

Например, если взять две окружности с отмеченной точкой, то их прямое произведение~--- тор. Далее отношение $\sim$ говорит нам, что нужно стянуть в точку параллель и меридиан. После этого топологически получится сфера.

\subsection{Функториальность прямого произведения}

Важно, что прямое произведение функториально. То есть, если предположить, что в категории $\categ{C}$ существуют все конечные произведения, то мы имеем \emph{функтор}

\begin{eqnarray*}
\mathcal{C} \times \mathcal{C} & \to & \mathcal{C},\\
(X,Y) & \rightsquigarrow & X\times Y,\\
(U \xrightarrow{f} X, ~ V \xrightarrow{g} Y) & \rightsquigarrow & U\times V \xrightarrow{f\times g} X\times Y.
\end{eqnarray*}

В частности, прямое произведение функториально в категории $\categ{Set}$, в отличие от операций $\cap$ и $\cup$. (Что бы тогда значило $U \cap V \xrightarrow{f\cap g} X\cap Y$?)

\subsection{Произведение в категории метрических пространств}

\term{Категория метрических пространств} имеет в качестве объектов метрические пространства (в обычном понимании), а стрелки могут вводиться различным образом, в зависимости от контекста:

\begin{enumerate}
\item \term{Сжимающие отображения}, т.е. такие $X \xrightarrow{f} Y$, что для всех $x, y \in X$

\[ d_Y (f(x), f(y)) \le d_X (x,y). \]

Изоморфизмами в такой категории будут \term{изометрии} (биекции, сохраняющие расстояния).

\item \term{Липшицевы отображения}, т.е. такие $X \xrightarrow{f} Y$, для которых найдется константа $C = C(f)$, такая что для всех $x, y \in X$

\[ d_Y (f(x), f(y)) \le C \cdot d_X (x,y). \]

Изоморфизмы в такой категории~--- это \term{билипшицевы отображения}, т.е. те, для которых выполняется

\[ C_1 \cdot d_X (x,y) \le d_Y (f(x), f(y)) \le C_2 \cdot d_X (x,y). \]

\item \term{Гёльдеровы отображения}, т.е. такие $X \xrightarrow{f} Y$, для которых найдется константа $C = C(f)$ и $a = a(f) \le 1$, такая что для всех $x, y \in X$

\[ d_Y (f(x), f(y)) \le C \cdot d_X (x,y)^a. \]
\end{enumerate}

Произведением в категории метрических пространств будет метрическое пространство

\[ (X,d_X) \times (Y,d_Y) = (X\times Y, d_{X\times Y}), \]

\noindent где на роль $d_{X\times Y}$ могут подойти существенно разные метрики:

\[ d_{X\times Y} ( (x_1,y_1), ~ (x_2,y_2) ) = (d_X (x_1,x_2)^C + d_Y (y_1,y_2)^C)^{1/C}. \]

\begin{itemize}
\item \underline{При $C = 1$} получается \term{taxi-cab metric} (\term{манхэттенская}):

\[ d_{X\times Y} ( (x_1,y_1), ~ (x_2,y_2) ) = d_X (x_1,x_2) + d_Y (y_1,y_2). \]

\item \underline{При $C = \infty$} получается \term{метрика Чебышёва}:

\[ d_{X\times Y} ( (x_1,y_1), ~ (x_2,y_2) ) = \max \{ d_X (x_1,x_2), ~ d_Y (y_1,y_2)\}. \]

\item \underline{При $C = 2$} получается \term{Евклидова метрика}:

\[ d_{X\times Y} ( (x_1,y_1), ~ (x_2,y_2) ) = \sqrt{d_X (x_1,x_2)^2 + d_Y (y_1,y_2)^2}. \]
\end{itemize}

\begin{exercise}
Какую из этих метрик нужно взять для прямого произведения в категории метрических пространств и сжимающих отображений?
\end{exercise}

\begin{exercise}
В категории метрических пространств и липшицевых отображений все эти метрики подходят для прямого произведения, и они являются изоморфными.
\end{exercise}

\subsection{Произведения в категории $\categ{Ord}$ и $\categ{LOrd}$}

$\categ{Ord}$~--- это категория частично упорядоченных множеств. $\categ{LOrd}$~--- категория линейно упорядоченных множеств (добавляется аксиома $\forall x \forall y \forall z ~ x < y \vee x = y \vee y < x$).

Произведение в категории $\categ{Ord}$ выглядит так:

\[ (X, \le_X) \times (Y, \le_Y) = (X\times Y, \le), \]

\noindent где

\[ (x_1,y_1) \le (x_2,y_2) \iff x_1 \le y_2 \text{ и } y_1 \le y_2. \]

См. книгу \emph{Биркгофф, Теория структур}.

Копроизведение в категории $\categ{Ord}$ выглядит так:

\[ (X, \le_X) \sqcup (Y, \le_Y) = (X\sqcup Y, \le), \]

\noindent где

\[ z \le w \iff \left\{\begin{array}{l}
z, w \in X\text{ и } z \le_X w,\\
z, w \in Y\text{ и } z \le_Y w.
\end{array}\right. \]

\begin{exercise}
Существуют ли произведения и копроизведения в категории $\categ{LOrd}$?
\end{exercise}

В качестве кандидатов на порядок можно рассмотреть

\begin{itemize}
\item \term{Лексикографический порядок} на $X\times Y$:

\[ (x_1,y_1) \le (x_2,y_2) \iff x_1 \le x_2 \vee (x_1 = x_2 \wedge y_1 \le y_2). \]

\item \term{Порядок ординальной суммы} на $X \sqcup Y$:

\[ z \le w \iff \left\{\begin{array}{l}
z,w \in X \text{ и } z\le_X w,\\
z,w \in Y \text{ и } z\le_Y w,\\
z \in X, w \in Y.
\end{array}\right. \]
\end{itemize}

Ординальная сумма не коммутативна. Например, $1 + \omega$ и $\omega + 1$, где $\omega$~--- порядковый тип $\mathbb{N}$, являются разными ординалами.

\subsection{Произведения в категории $\categ{CompTop}$}

Существование произведений и копроизведений в категории $\categ{CompTop}$ компактных хаусдорфовых топологических пространств~--- это две знаменитые теоремы.

\begin{itemize}
\item \term{Теорема Тихонова}:

\[ \prod_{i\in I}{}_\categ{Top} \, X_i = \prod_{i\in I}{}_\categ{CompTop} \, X_i. \]

\item \term{Теорема Стоуна--Чеха}:

\[ \coprod_{i\in I}{}_\categ{Top} \, \text{Компактификация Чеха для }X_i = \coprod_{i\in I}{}_\categ{CompTop} \, X_i. \]
\end{itemize}

\subsection{Произведения в категории $\categ{DAb}$}

Категория $\categ{DAb}$ \term{дифференциальных абелевых групп} имеет в качестве объектов $(A,d)$, где $A \in \Ob(\categ{Ab})$, а $A \xrightarrow{d} A$~--- \term{дифференциал}, то есть такое отображение, что $d^2 = 0$, иначе говоря, $\im d \le \ker d$.

Факторгруппа $H (A,d) \dfn \ker (d) / \im (d)$ называется \term{группой гомологий}.

Морфизмами в категории $\categ{DAb}$ являются стрелки, коммутирующие с дифференциалами:

\[ (A, d_A) \xrightarrow{f} (B, d_B) \]

\[ \xymatrix{
A\ar[d]_{d_A} \ar[r]^f & B\ar[d]^{d_B} \\
A \ar[r]_f & B
} \]

\[ f\,d_A = d_B\,f. \]

\begin{exercise}
Описать произведения и копроизведения в категории $\categ{DAb}$.
\end{exercise}

\subsection{Корасслоенные произведения в категории $\categ{Grp}$}

В категории групп существуют произвольные корасслоенные произведения.

Мы уже рассматривали свободное произведение.

\[ \xymatrix{
1 \ar[r]\ar[d] & H\ar[d] \\
G \ar[r] & H \mathop{*} G
} \]

Например, $C_2 \mathop{*} C_3 \isom \PSL_2 (\mathbb{Z})$.

Это частный случай корасслоенного произведения.

\[ \xymatrix{
F \ar[r]\ar[d] & H\ar[d] \\
G \ar[r] & H \mathop{*}_F G
} \]

Например, $C_4 \mathop{*}_{C_2} C_6 \isom \SL_2 (\mathbb{Z})$. См. книгу Jean-Pierre Serre, \emph{Trees}.

Эта конструкция называется \term{amalgamated product} (\term{свободное произведение с объединенной подгруппой}). Для $F \le G$ и $F \le H$ элементами $H \mathop{*}_F G$ являются классы слов вида $x_1 \, x_2 \cdots x_s$, где $x_i \in H \text{ или } G$. На них вводятся такие же отношения, что и в свободном произведении $H \mathop{*} G$, и еще добавляются отношения

\[ i(f)\,j(f)^{-1} = 1, \]

\noindent где $i\colon F\hookrightarrow G$, $j\colon F\hookrightarrow H$~--- соответствующие вложения $F$, и $f\in F$.

\section{Естественные преобразования}

\begin{definition}
\term{Естественное преобразование} $\tau$ между функторами $F, G\colon \categ{C}\to \categ{D}$ сопоставляет каждому объекту $X\in\Ob(\categ{C})$ морфизм $F(X)\xrightarrow{\tau_X} G(X)$ (в категории $\categ{D}$), так что для всякого морфизма $X \xrightarrow{f} Y$ (в категории $\categ{C}$) следующая диаграмма коммутативна:

\[ \xymatrix{
F(X)\ar[r]^{\tau_X}\ar[d]_{F(f)} & G(X)\ar[d]^{G(f)} \\
F(Y)\ar[r]_{\tau_Y} & G(Y)
} \]

Обозначение: $\tau\colon F\Rightarrow G$.
\end{definition}

Для естественных преобразований можно ввести композицию (даже двумя разными способами). Об этом см. ниже раздел <<2-категории>>.

\subsection{Пример: естественный изоморфизм векторных пространств $V^{**} \isom V$}

Как известно, конечномерное векторное пространство изоморфно своему двойственному:

\[ \Hom (V,k) \rdfn V^* \isom V. \]

Но этот изоморфизм не является естественным! У нас имеется контравариантный функтор

\begin{eqnarray*}
V & \rightsquigarrow & V^*,\\
U \xrightarrow{f} V & \rightsquigarrow & V^* \xrightarrow{f^*} U^*.
\end{eqnarray*}

$V$ является объектом в категории $\categ{vect}_k$ конечномерных\footnote{Не путать с надкатегорией $\categ{Vect}_k$ векторных пространств над $k$.} векторных пространств над $k$, а $V^*$~--- объектом \emph{двойственной} категории. Даже над полем следует различать левые и правые векторные пространства.

Изоморфизм $V^{**} \isom V$ уже естественный. А именно, ковариантный функтор $V \rightsquigarrow V^{**}$ естественно эквивалентен тождественному функтору $\bu_{\categ{vect}_k}$.

\section{2-категории}

Для естественных преобразований можно ввести две композиции: вертикальную $\vcirc$ и горизонтальную $\hcirc$.

\subsection{Вертикальная композиция естественных преобразований}

\begin{definition}
Если имеются естественные преобразования $\sigma\colon F\Rightarrow G$ и $\tau\colon G\Rightarrow H$ между функторами $F,G,H\colon \categ{C}\to\categ{D}$, то для них определена \term{вертикальная композиция} $\sigma\vcirc\tau\colon F\Rightarrow H$.

\shorthandoff{"}
\[ \xymatrix@C=5em{
\categ{C}
\ar@/^3em/[r]^F_{}="F"
\ar[r]^G="GT"_{}="GB"
\ar@/_3em/[r]^H="H"
\ar@{=>}_\sigma"F";"GT"
\ar@{=>}_\tau"GB";"H"
&
\categ{D}}
\quad \rightsquigarrow \quad
\xymatrix@C=5em{
\categ{C}
\ar@/^1.5em/[r]^F_{}="F"
\ar@/_1.5em/[r]^{}="H"_H
\ar@{=>}_{\sigma\vcirc\tau}"F";"H"
&
\categ{D}} \]
\shorthandon{"}

\[ \xymatrix{
F(X)\ar[r]^{F(f)}\ar[d]_{\sigma_X}\ar@{-->}@/_4em/[dd]_{(\sigma\vcirc\tau)_X\rdfn} & F(Y)\ar[d]^{\sigma_Y}\ar@{-->}@/^4em/[dd]^{\dfn (\sigma\vcirc\tau)_Y} \\
G(X)\ar[r]^{G(f)}\ar[d]_{\tau_X} & G(Y)\ar[d]^{\tau_Y} \\
H(X)\ar[r]^{H(f)} & H(Y)
} \]

\[ F(X) \xrightarrow{(\sigma\vcirc\tau)_X} H(X) \dfn
F(X) \xrightarrow{\sigma_X} G(X) \xrightarrow{\tau_X} H(X). \]
\end{definition}

\begin{exercise}[Ассоциативность вертикальной композиции]
Показать, что для трех естественных преобразований
$F \xRightarrow{\rho} G \xRightarrow{\sigma} H \xRightarrow{\tau} I$

\[ (\rho\vcirc\sigma)\vcirc\tau = \rho\vcirc(\sigma\vcirc\tau). \]

\shorthandoff{"}
\[ \xymatrix@C=7em{
\categ{C}
\ar@/^4.5em/[r]^F_{}="a"
\ar@/^1.5em/[r]^G="b"_{}="c"
\ar@/_1.5em/[r]^H="d"_{}="e"
\ar@/_4.5em/[r]^I="f"
\ar@{=>}"a";"b"_\rho
\ar@{=>}"c";"d"_\sigma
\ar@{=>}"e";"f"_\tau
& \categ{D}
} \]
\shorthandon{"}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Для естественного преобразования $F \xRightarrow{\sigma} G$

\[ \bbu_F\vcirc\sigma = \sigma\vcirc \bbu_G = \sigma. \]
\end{exercise}

\begin{definition}
Для категорий $\categ{C}$ и $\categ{D}$ <<категория>> $\categ{D}^\categ{C} \dfn \Funct (\categ{C},\categ{D})$ имеет в качестве объектов функторы $\categ{C}\to\categ{D}$, а в качестве морфизмов~--- естественные преобразования функторов

\[ \Hom_{\Funct(\categ{C},\categ{D})} (F,G) = \Nat (F,G). \]

В качестве композиции морфизмов используется $\vcirc$.

В качестве единичных морфизмов выступают тождественные естественные преобразования $\bbu_F \in \Nat(F,F)$.
\end{definition}

$\Nat (F,G)$ не образует множество и даже класс, поэтому $\Funct (\categ{C},\categ{D})$~--- это не честная категория. Но если $\categ{C}$~--- малая категория, то $\Funct (\categ{C},\categ{D})$~--- категория. Если $\categ{C}$ и $\categ{D}$~--- малые категории, то $\Funct (\categ{C},\categ{D})$~--- тоже малая категория.

\subsection{Горизонтальная композиция естественных преобразований}

\begin{definition}
Пусть имеются естественные преобразования $F\xRightarrow{\sigma} G$, $H\xRightarrow{\tau} I$ между функторами $\categ{C}\xrightarrow{F,G}\categ{D}$ и $\categ{D}\xrightarrow{H,I}\categ{E}$. Тогда мы определим их \term{горизонтальную композицию} $F\,H \xRightarrow{\sigma\hcirc\tau} G\,I$:

\shorthandoff{"}
\[ \xymatrix{
\categ{C}
\ar@/^1.5em/[r]^F_{}="F"
\ar@/_1.5em/[r]^{}="G"_G
\ar@{=>}"F";"G"_\sigma
&
\categ{D}
\ar@/^1.5em/[r]^H_{}="H"
\ar@/_1.5em/[r]^{}="I"_I
\ar@{=>}"H";"I"_\tau &
\categ{E}
}
\quad \rightsquigarrow \quad
\xymatrix@C=5em{
\categ{C}
\ar@/^1.5em/[r]^{F\,H}_{}="FH"
\ar@/_1.5em/[r]^{}="GI"_{G\,I}
\ar@{=>}"FH";"GI"_{\sigma\hcirc\tau}
& \categ{E}
} \]
\shorthandon{"}

Стрелка $FH(X) \xrightarrow{ (\sigma\hcirc\tau)_X } GI(X)$ получается следующим образом:

\[ \xymatrix@R=4em@C=4em{
FH (X) \ar[r]^{H(\sigma_X)} \ar[d]_{\tau_{F(X)}} \ar@{-->}[dr]^{(\sigma\hcirc\tau)_X} & GH (X) \ar[d]^{\tau_{G(X)}} \\
FI (X) \ar[r]_{I(\sigma_X)} & GI (X)
} \]

\[ (\sigma\hcirc\tau)_X = H(\sigma_X)\circ\tau_{G (X)} = \tau_{F(X)}\circ I(\sigma_X). \]
\end{definition}

\begin{exercise}
Построить естественный квадрат для $\sigma\hcirc\tau$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[Ассоциативность горизонтальной композиции]
Показать, что для трех естественных преобразований
$\rho$, $\sigma$, $\tau$

\[ (\rho\hcirc\sigma)\hcirc\tau = \rho\hcirc(\sigma\hcirc\tau). \]

\shorthandoff{"}
\[ \xymatrix{
\bullet
\ar@/^1em/[r]_{}="a1"
\ar@/_1em/[r]^{}="a2"
\ar@{=>}"a1";"a2"_\rho
&
\bullet
\ar@/^1em/[r]_{}="b1"
\ar@/_1em/[r]^{}="b2"
\ar@{=>}"b1";"b2"_\sigma
&
\bullet
\ar@/^1em/[r]_{}="c1"
\ar@/_1em/[r]^{}="c2"
\ar@{=>}"c1";"c2"_\tau &
\bullet
} \]
\shorthandon{"}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Для естественного преобразования $F \xRightarrow{\sigma} G$

\[ \bbu_F\hcirc\sigma = \sigma\hcirc \bbu_G = \sigma. \]
\end{exercise}

\subsection{Определение 2-категории}

Пусть имеется следующая диаграмма:

\shorthandoff{"}
\[ \xymatrix@C=4em{
\categ{C}
\ar@/^3em/[r]^F_{}="Fb"
\ar[r]^G="Gt"_{}="Gb"
\ar@/_3em/[r]^H="Ht"_{}
\ar@{=>}"Fb";"Gt"_\rho
\ar@{=>}"Gb";"Ht"_\sigma
&
\categ{D}
\ar@/^3em/[r]^I_{}="Ib"
\ar[r]^J="Jt"_{}="Jb"
\ar@/_3em/[r]^K="Kt"_{}
\ar@{=>}"Ib";"Jt"_\tau
\ar@{=>}"Jb";"Kt"_\omega
&
\categ{E}
} \]
\shorthandon{"}

Можно взять сначала вертикальные композиции, а потом горизонтальную:

\shorthandoff{"}
\[ \xymatrix@C=4em{
\categ{C}
\ar@/^3em/[r]^F_{}="Fb"
\ar[r]^G="Gt"_{}="Gb"
\ar@/_3em/[r]^H="Ht"_{}
\ar@{=>}"Fb";"Gt"_\rho
\ar@{=>}"Gb";"Ht"_\sigma
&
\categ{D}
\ar@/^3em/[r]^I_{}="Ib"
\ar[r]^J="Jt"_{}="Jb"
\ar@/_3em/[r]^K="Kt"_{}
\ar@{=>}"Ib";"Jt"_\tau
\ar@{=>}"Jb";"Kt"_\omega
&
\categ{E}
}
\quad \rightsquigarrow \quad
\xymatrix@C=4em{
\categ{C}
\ar@/^1.5em/[r]^F_{}="Fb"
\ar@/_1.5em/[r]^{}="Ht"_H
\ar@{=>}"Fb";"Ht"_{\rho\vcirc\sigma}
&
\categ{D}
\ar@/^1.5em/[r]^I_{}="Ib"
\ar@/_1.5em/[r]^{}="Kt"_K
\ar@{=>}"Ib";"Kt"_{\tau\vcirc\omega}
&
\categ{E}
}
\quad \rightsquigarrow \quad
\xymatrix@C=6em{
\categ{C}
\ar@/^2.5em/[r]^{F\,I}_{}="FI"
\ar@/_2.5em/[r]^{}="HK"_{H\,K}
\ar@{=>}"FI";"HK"|-{(\rho\vcirc\sigma)\hcirc(\tau\vcirc\omega)}
&
\categ{E}
}
\]
\shorthandon{"}

Можно наоборот, начать с горизонтальных композиций, а потом взять вертикальную:

\shorthandoff{"}
\[ \xymatrix@C=4em{
\categ{C}
\ar@/^3em/[r]^F_{}="Fb"
\ar[r]^G="Gt"_{}="Gb"
\ar@/_3em/[r]^H="Ht"_{}
\ar@{=>}"Fb";"Gt"_\rho
\ar@{=>}"Gb";"Ht"_\sigma
&
\categ{D}
\ar@/^3em/[r]^I_{}="Ib"
\ar[r]^J="Jt"_{}="Jb"
\ar@/_3em/[r]^K="Kt"_{}
\ar@{=>}"Ib";"Jt"_\tau
\ar@{=>}"Jb";"Kt"_\omega
&
\categ{E}
}
\quad \rightsquigarrow \quad
\xymatrix@C=6em{
\categ{C}
\ar@/^3em/[r]^{F\,I}_{}="FI"
\ar[r]^{G\,J}="GJt"_{}="GJb"
\ar@/_3em/[r]^{H\,K}="HK"_{}
\ar@{=>}"FI";"GJt"_{\rho\vcirc\tau}
\ar@{=>}"GJb";"HK"_{\sigma\vcirc\omega}
&
\categ{E}
}
\quad \rightsquigarrow \quad
\xymatrix@C=6em{
\categ{C}
\ar@/^2.5em/[r]^{F\,I}_{}="FI"
\ar@/_2.5em/[r]^{}="HK"_{H\,K}
\ar@{=>}"FI";"HK"|-{(\rho\hcirc\tau)\vcirc(\sigma\hcirc\omega)}
&
\categ{E}
}
\]
\shorthandon{"}

\term{2-ассоциативностью} называется условие

\[ (\rho\vcirc\sigma)\hcirc(\tau\vcirc\omega) = (\rho\hcirc\tau)\vcirc(\sigma\hcirc\omega). \]

\begin{definition}
\term{2-категория} задается

\begin{itemize}
\item \term{объектами},

\item \term{морфизмами} $\categ{C}\xrightarrow{F} \categ{D}$ между объектами $\categ{C}$ и $\categ{D}$,

\item \term{2-морфизмами} $F \xRightarrow{\tau} G$ между морфизмами $\categ{C} \xrightarrow{F,G} \categ{D}$,

\item тремя \term{композициями}: $\circ$ для морфизмов; вертикальной $\vcirc$ и горизонтальной $\hcirc$ для 2-морфизмов.
\end{itemize}

При этом

\begin{itemize}
\item Различные множества морфизмов (2-морфизмов) не пересекаются.

\item Для каждого объекта $\categ{C}$ задан тождественный морфизм $\bu_\categ{C}$.

\item Для каждого морфизма $F$ задан тождественный 2-морфизм $\bbu_F$.

\item Выполняются четыре закона ассоциативности (ассоциативность $\circ$, ассоциативность $\hcirc$, ассоциативность $\vcirc$; 2-ассоциативность):

\begin{gather*}
\tag{1} (F\circ G)\circ H = F\circ (G\circ H),\\
\tag{2} (\rho\vcirc \sigma)\vcirc \tau = \rho\vcirc (\sigma\vcirc tau),\\
\tag{3} (\rho\hcirc \sigma)\hcirc \tau = \rho\hcirc (\sigma\hcirc tau),\\
\tag{4} (\rho\vcirc\sigma)\hcirc(\tau\vcirc\omega) = (\rho\hcirc\tau)\vcirc(\sigma\hcirc\omega).
\end{gather*}
\end{itemize}
\end{definition}

Основной пример~--- это 2-категория, состоящая из категорий, функторов и естественных преобразований между ними. (Различные теоретико-множественные вопросы, связанные с определением 2-категории, мы здесь не обсуждаем.)

О 2-категориях и $n$-категориях можно прочитать по ссылкам с домашней страницы Дж.~Баеза:
\url{http://math.ucr.edu/home/baez/}.

\section{Лемма Ионеды}

Пусть $\categ{C}$~--- категория, $X \in \Ob(\categ{C})$, и $F\colon \categ{C}\to\categ{Set}$~--- ковариантный функтор. Возникает задача: описать естественные преобразования $\Hom_\categ{C} (X,\cdot) \Rightarrow F$.

\begin{theorem}[Лемма Ионеды]
Все естественные преобразования $\Hom_\categ{C} (X,\cdot) \Rightarrow F$ находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами $x\in F(X)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Если задано естественное преобразование $\tau\colon \Hom_\categ{C} (X,\cdot) \Rightarrow F$, то рассмотрим отображение $\Hom_\categ{C} (X,X) \xrightarrow{\tau_X} F(X)$. Его значением на элементе $1_X \in \Hom_\categ{C} (X,X)$ будет некоторый элемент $x\in F(X)$:

\[ x \dfn \tau_X (1_X). \]

\item Если задан элемент $x\in F(X)$, то определим естественное преобразование $\tau\colon \Hom_\categ{C} (X,\cdot) \Rightarrow F$. Для каждого $Y \in \Ob(\categ{C})$ зададим отображение

\begin{eqnarray*}
\Hom_\categ{C} (X,Y) & \xrightarrow{\tau_Y} & F(Y),\\
X \xrightarrow{f} Y & \mapsto & F(f)(x).
\end{eqnarray*}

Проверим естественность:

\[ \xymatrix{
\Hom_\categ{C} (X,Y) \ar[r]^{\tau_Y} \ar[d]_{\Hom_\categ{C}(X,g)} & F(Y)\ar[d]^{F(g)} \\
\Hom_\categ{C} (X,Z) \ar[r]_{\tau_Z} & F(Z)
} \quad
\xymatrix{
f \ar@{|->}[r] \ar@{|->}[d] & F(f)(x)\ar@{|->}[d] \\
f\,g \ar@{|->}[r] & {\begin{array}{l}F(g) (F(f)(x)) = \\ F (f\,g) (x)\end{array}}
} \]

\item Убедимся, что определенные сопоставления взаимно обратные.

\begin{itemize}
\item Элементу $x\in F(X)$ соответствует естественное преобразование $X\xrightarrow{f} Y \mapsto F(f)(x)$. Ему соответствует элемент $F(1_X)(x) = 1_{F(X)} (x) = x$.

\item Естественному преобразованию $\tau_Y\colon X\xrightarrow{f} Y \mapsto \tau_Y (f)$ соответствует элемент $\tau_X (1_X)$. Этому элементу соответствует естественное преобразование $\omega_Y\colon X\xrightarrow{f} Y \mapsto F(f)(\tau_X (1_X))$.

\[ \omega_Y(f) = F(f)(\tau_X (1_X)) = \tau_Y (\Hom_\categ{C} (X,f) (1_X)) = \tau_Y (f). \]
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{exercise}
Рассмотрим $X,Y\in\Ob(\categ{C})$ и морфизм $X\xrightarrow{f} Y$. Тогда для каждого $Z\in\Ob(\categ{C})$ имеем

\begin{eqnarray*}
\Hom_\categ{C} (Y,Z) & \xrightarrow{\Hom_\categ{C} (f,Z)} & \Hom_\categ{C} (X,Z)\\
g & \mapsto & f\,g
\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item Это естественное преобразование $\Hom_\categ{C}(f,\cdot)\colon \Hom_\categ{C} (Y,\cdot) \Rightarrow \Hom_\categ{C} (X,\cdot)$.

\item Если $f$~--- изоморфизм, то $\Hom_\categ{C}(f,\cdot)$~--- естественная эквивалентность.

\item Каждое естественное преобразование $\Hom_\categ{C} (Y,\cdot) \Rightarrow \Hom_\categ{C} (X,\cdot)$ имеет вид $\Hom_\categ{C}(f,\cdot)$ для некоторого $X \xrightarrow{f} Y$.

\item Функторы $\Hom_\categ{C} (X,\cdot)$ и $\Hom_\categ{C} (Y,\cdot)$ естественно эквивалентны iff $X$ и $Y$ изоморфны.

\item Композиция морфизмов $f$ и $g$ соответствует вертикальной композиции естественных преобразований $\Hom_\categ{C}(f,\cdot)$ и $\Hom_\categ{C}(g,\cdot)$.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{theorem}[Лемма Ионеды, уточненная формулировка]
Пусть $\categ{C}$~--- категория, $X\in\Ob (\categ{C})$, $F\colon\categ{C}\to\categ{Set}$~--- функтор. Имеется естественная биекция

\[ \Nat (\Hom_\categ{C} (X,-), F) \isom F(X). \]

То есть, она естественна относительно замен $X \xrightarrow{\phi} X^\prime$ и относительно замен $F \xRightarrow{\sigma} G$:

\[ \xymatrix{
\Nat (\Hom_\categ{C} (X,-), F) \ar[r]^-\isom \ar[d]_{\Hom_\categ{C} (\phi,-) \vcirc -} & F(X) \ar[d]^{F(\phi)} \\
\Nat (\Hom_\categ{C} (X^\prime, -), F) \ar[r]_-\isom & F(X^\prime)
}
\quad
\xymatrix{
\Nat (\Hom_\categ{C} (X,-), F) \ar[r]^-\isom \ar[d]_{-\vcirc \sigma} & F(X) \ar[d]^{\sigma_X} \\
\Nat (\Hom_\categ{C} (X,-), G) \ar[r]_-\isom & G(X)
} \]
\end{theorem}

\begin{theorem}[Лемма Ионеды, альтернативная формулировка]
Имеются два функтора:

\[ \xymatrix{
\Funct (\categ{C},\categ{Set}) \times \categ{C} \ar@/^1em/[r]^N \ar@/_1em/[r]_E & \categ{Set}
} \]

\begin{eqnarray*}
E (F,X) & \dfn & F(X),\\
N (F,X) & \dfn & \Nat (\Hom_\categ{C} (X,-), F).
\end{eqnarray*}

\noindent (На морфизмах эти функторы задаются очевидным образом.)

Существует естественный изоморфизм $N \xRightarrow{\alpha} E$.
\end{theorem}

\section{Сопряженные функторы}

Вспомним конструкцию свободной абелевой группы.

\[ \xymatrix{
 & X \ar[d]\ar[dl]\\
\mathbb{Z}^{(X)} \ar@{-->}[r] & A
}
\quad
\xymatrix{
 & X \ar@{-->}[d]\ar[dl]\\
\mathbb{Z}^{(X)} \ar[r] & A
} \]

Здесь $X \in \Ob (\categ{Set})$ и $A \in \Ob (\categ{Ab})$. На первой диаграмме стрелка $\dashrightarrow$ является универсальным гомоморфизмом, а на второй~--- просто композицией.

Мы имеем естественную биекцию

\begin{eqnarray*}
\Hom_\categ{Set} (X, U(A)) & \isom & \Hom_\categ{Ab} (F(X), A), \\
X\to U(A) & \leftrightarrow & F(X) \to A, \\
\begin{array}{r}
\text{отображение}\\
\text{множеств}
\end{array} & &
\begin{array}{l}
\text{гомоморфизм}\\
\text{абелевых групп}
\end{array}
\end{eqnarray*}

\noindent где $U\colon \categ{Ab}\to\categ{Set}$~--- забывающий функтор, а $F\colon \categ{Set}\to\categ{Ab}$~--- функтор $X \rightsquigarrow \mathbb{Z}^{(X)}$.

\vspace{2em}

Этот пример приводит нас к важному понятию сопряженных функторов.

\begin{definition}
Пусть имеются встречные функторы $F$ и $G$ на категориях $\categ{D}$ и $\categ{C}$:

\[ \xymatrix{
\categ{D}\ar@/^1em/[r]^F & \categ{C}\ar@/^1em/[l]^G
} \]

Говорят, что $F$~--- \term{левый сопряженный функтор} к $G$, а $G$~--- \term{правый сопряженный функтор} к $F$ (обозначение $F \dashv G$), если для любых $X \in \Ob (\categ{D})$, $Y \in \Ob (\categ{C})$ имеется биекция

\[ \Hom_\categ{C} (F(X), Y) \xrightarrow{\phi_{X,Y}} \Hom_\categ{D} (X, G(Y)), \]

\noindent естественная по $X$ и по $Y$.
\end{definition}

Естественность означает, что для любого морфизма $Y \xrightarrow{f} Y^\prime$ в категории $\categ{C}$ и морфизма $X^\prime \xrightarrow{g} X$ в категории $\categ{D}$ возникает коммутативная диаграмма

\[ \xymatrix{
\Hom_\categ{C} (F(X), Y) \ar[r]^{\phi_{X,Y}}\ar[d] & \Hom_\categ{D} (X, G(Y))\ar[d] \\
\Hom_\categ{C} (F(X^\prime), Y^\prime) \ar[r]_{\phi_{X^\prime,Y^\prime}} & \Hom_\categ{D} (X^\prime, G(Y^\prime)) \\
} \]

Вертикальные стрелки устроены следующим образом:

\[ \xymatrix{
F(X^\prime) \ar[r]^{F(g)}\ar@{-->}@/_2em/[rrr] & F(X) \ar[r] & Y \ar[r]^f & Y^\prime
} \]

\[ \xymatrix{
X^\prime \ar[r]^g\ar@{-->}@/_2em/[rrr] & X \ar[r] & G(Y) \ar[r]^{G(f)} & G(Y^\prime)
} \]

\vspace{2em}

Иначе говоря, у нас имеются бифункторы $\Hom_\categ{D} (-,G(-))$ и $\Hom_\categ{C} (F(-),-) \colon \categ{D}^* \times \categ{C} \to \categ{Set}$. Сопряжение $F \dashv G$ есть их естественный изоморфизм.

Если $F \dashv G$, то имеется биекция

\begin{eqnarray*}
\Hom_\categ{C} (F(X),F(X)) & \xrightarrow{\isom} & \Hom_\categ{D} (X, G(F(X))),\\
1_{F(X)} & \mapsto & \phi_{X,F(X)} (1_{F(X)}) \rdfn \eta_X.
\end{eqnarray*}

Морфизм $X \xrightarrow{\eta_X} G (G(X))$ соответствует естественному преобразованию $\bu_\categ{D} \xRightarrow{\eta} F\,G$. Оно называется \term{единицей сопряжения}.

Двойственно, имеется биекция

\begin{eqnarray*}
\Hom_\categ{D} (G(Y),G(Y)) & \xrightarrow{\isom} & \Hom_\categ{C} (F(G(Y)), Y),\\
1_{G(Y)} & \mapsto & \phi_{G(Y),Y} (1_{G(Y)}) \rdfn \epsilon_Y.
\end{eqnarray*}

Морфизм $F(G(Y)) \xrightarrow{\epsilon_Y} Y$ соответствует естественному преобразованию $G\,F \xRightarrow{\epsilon} \bu_\categ{D}$. Оно называется \term{коединицей сопряжения}.

\begin{exercise}
Следующее естественное преобразование является тождественным:

\[ F \xRightarrow{\eta\hcirc\bbu_F} F\,G\,F \xRightarrow{\bbu_F\hcirc\epsilon} F. \]

\shorthandoff{"}
\[ \xymatrix{
\categ{D}
\ar@/^1.5em/[r]^{\bu_\categ{D}}_{}="1D"
\ar@/_1.5em/[r]^{}="FG"_{F\,G}
\ar@{=>}"1D";"FG"_\eta
&
\categ{D}
\ar@/^1.5em/[r]^F_{}="Fa"
\ar@/_1.5em/[r]^{}="Fb"_F
\ar@{=>}"Fa";"Fb"_{\bbu_F} &
\categ{C}
} \quad
\xymatrix{
\categ{D}
\ar@/^1.5em/[r]^F_{}="Fa"
\ar@/_1.5em/[r]^{}="Fb"_F
\ar@{=>}"Fa";"Fb"_{\bbu_F}
&
\categ{C}
\ar@/^1.5em/[r]^{G\,F}_{}="GF"
\ar@/_1.5em/[r]^{}="1G"_{\bu_\categ{C}}
\ar@{=>}"GF";"1G"_\epsilon &
\categ{C}
} \]
\shorthandon{"}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Если $F \dashv G$ и $F \dashv H$, то $G$ и $H$ изоморфны.
\end{exercise}

\subsection{Примеры сопряженных функторов}

\begin{enumerate}
\item Имеем естественную биекцию

\[ \Hom_\categ{Set} (B\times A, C) \isom \Hom_\categ{Set} (B, \Hom_\categ{Set}(A,C)). \]

\[ \xymatrix{
\categ{Set}
\ar@/^1em/[r]^{-\times A}
& \categ{Set}
\ar@/^1em/[l]^{\Hom_\categ{Set} (A,-)}
} \]

\[ -\times A \dashv \Hom_\categ{Set} (A,-). \]

Это верно для любой категории, в которой существуют конечные произведения.

\item Рассмотрим два встречных функтора

\[ \xymatrix{
\categ{Ab}
\ar@/^1em/[r]^U
& \categ{Grp}
\ar@/^1em/[l]^F
} \]

Здесь $U$~--- забывающий функтор, а $F$~--- функтор абелианизации $G \rightsquigarrow G/[G,G]$.

Это универсальная конструкция в том смысле, что всякий морфизм $G \to A$ в абелеву группу пропускается через $G^{ab}$.

\[ F \dashv U. \]

\item Рассмотрим два встречных функтора

\[ \xymatrix{
\categ{Grp}
\ar@/^1em/[r]^U
& \categ{Mon}
\ar@/^1em/[l]^F
} \]

Здесь $U$~--- забывающий функтор, а $F$~--- функтор $M \rightsquigarrow K(M)$ из моноида $M$ в группу Гротендика $K(M)$.

Это универсальная конструкция в том смысле, что всякий морфизм $M \to G$ в группу пропускается через $K(M)$.

\[ F \dashv U. \]

\item Рассмотрим два встречных функтора

\[ \xymatrix{
\categ{Top}
\ar@/^1em/[r]^U
& \categ{Set}
\ar@/^1em/[l]^F
} \]

Здесь $U$~--- забывающий функтор, а $F$~--- функтор, снабжающий множество дискретной топологией.

\[ F \dashv U. \]

\item Пусть $\categ{CompHaus}$~--- категория компактных хаусдорфовых пространств. Рассмотрим два встречных функтора

\[ \xymatrix{
\categ{CompHaus}
\ar@/^1em/[r]^U
& \categ{Top}
\ar@/^1em/[l]^F
} \]

Здесь $U$~--- забывающий функтор, а $F$~--- компактификация Стоуна--Чеха.

\[ F \dashv U. \]

\item Пусть $\categ{Cat}$~--- категория малых категорий. Рассмотрим встречные функторы

\[ \xymatrix{
\categ{Cat}
\ar@/^1.5em/[r]^U
\ar@/^0.5em/[r]^{\pi_0}
& \categ{Set}
\ar@/^0.5em/[l]^D
\ar@/^1.5em/[l]^A
} \]

Здесь $U$~--- забывающий функтор, а $\pi_0$~--- функтор компонент связности\footnote{Объекты $X$ и $Y$ называются \term{достижимыми}, если в $\categ{C}$ имеется связывающая их цепочка морфизмов (не обязательно однонаправленных).}; $D$ снабжает множество структурой дискретной категории, а $A$~--- кодискретной\footnote{$\Ob(\categ{C}) \dfn X$ и $\Hom_\categ{C}(x,y) \dfn \{(x,y)\}$ (это называется также \term{кодискретным группоидом} над $X$).}.

\[ \pi_0 \dashv D, \quad
D \dashv U, \quad
U \dashv A. \]

\item Пусть $X \xrightarrow{f} Y$~--- отображение множеств. Множества подмножеств $2^X$ и $2^Y$ являются категориями, как частично упорядоченные множества. С ними связаны три функтора

\[ \xymatrix{
2^X
\ar@/^1.5em/[r]^{f_*}
\ar[r]^{\im}
& 2^Y
\ar@/^1.5em/[l]^{f^{-1}}
} \]

\begin{eqnarray*}
f_* (M) & \dfn & \{ y\in Y \mid f^{-1} (\{y\}) \subseteq M \},\\
\im (M) & \dfn & \{ f(x) \mid x\in M \},\\
f^{-1} (N) & \dfn & \{ x\in X \mid f(x) \in N \}.
\end{eqnarray*}

\[ \im \dashv f^{-1}, \quad f^{-1} \dashv f_*. \]

\begin{definition}
Если $P$ и $Q$~--- частично упорядоченные множества и между ними имеются сопряженные встречные функторы

\[ \xymatrix{
P
\ar@/^1em/[r]^F
& Q
\ar@/^1em/[l]^G
} \]

\[ F \dashv G, \]

\noindent то это называется \term{соответствием Галуа}.
\end{definition}

При этом

\[ F(a) \preceq b \iff a \preceq G(b). \]

\item Пусть $\categ{Ring}_\bullet$~--- категория колец с отмеченной точкой. Рассмотрим два встречных функтора

\[ \xymatrix{
\categ{Ring}_\bullet
\ar@/^1em/[r]^U
& \categ{Ring}
\ar@/^1em/[l]^F
} \]

Здесь $U$~--- функтор, забывающий отмеченную точку, а $F$~--- функтор $R \rightsquigarrow (R[x],x)$.

\[ F \dashv U. \]
\end{enumerate}

\section{Эквивалентность и антиэквивалентность категорий}

Вспомним, что категории $\categ{C}$ и $\categ{D}$ называются \term{изоморфными} ($\categ{C}\isom\categ{D}$), если существуют ковариантные функторы $F\colon\categ{C}\to\categ{D}$ и $G\colon\categ{D}\to\categ{C}$, такие что $F\,G = \bu_\categ{C}$ и $G\,F = \bu_\categ{D}$.\\
$\categ{C}$ и $\categ{D}$ называются \term{антиизоморфными}, если $\categ{C}\isom\categ{D}^*$.

Если ослабить эти условия, то получается эквивалентность и антиэквивалентность.

\begin{definition}
Категории $\categ{C}$ и $\categ{D}$ называются \term{эквивалентными} ($\categ{C} \simeq \categ{D}$), если существуют ковариантные функторы $F\colon\categ{C}\to\categ{D}$ и $G\colon\categ{D}\to\categ{C}$, такие что $F\,G \isom \bu_\categ{C}$ и $G\,F \isom \bu_\categ{D}$.
\end{definition}

В свою очередь $F\,G \isom \bu_\categ{C}$ и $G\,F \isom \bu_\categ{D}$ означает, что существуют естественные преобразования

\begin{enumerate}
\item $\sigma\colon F\,G \Rightarrow \bu_\categ{C}$, $\sigma^\prime\colon \bu_\categ{C} \Rightarrow F\,G$, такие что для каждого $X \in \Ob (\categ{C})$ имеем

\begin{gather*}
\sigma_X \colon (F\,G)(X) \to X, \quad
\sigma_X^\prime\colon X \to (F\,G)(X),\\
\sigma_X\,\sigma_X^\prime = 1_{(F\,G)(X)}, \quad
\sigma_X^\prime\,\sigma_X = 1_X.
\end{gather*}

\item $\tau\colon G\,F \Rightarrow \bu_\categ{D}$, $\tau^\prime\colon \bu_\categ{D} \Rightarrow G\,F$, такие что для каждого $X \in \Ob (\categ{D})$ имеем

\begin{gather*}
\tau_X \colon (G\,F)(X) \to X, \quad
\tau_X^\prime\colon X \to (G\,F)(X),\\
\tau_X\,\tau_X^\prime = 1_{(G\,F)(X)}, \quad
\tau_X^\prime\,\tau_X = 1_X.
\end{gather*}
\end{enumerate}

Эквивалентность категорий является отношением эквивалентности в обычном смысле.

\begin{definition}
Категории $\categ{C}$ и $\categ{D}$ называются \term{антиэквивалентными}, если $\categ{C} \simeq \categ{D}^*$.\\
(Иначе говоря, можно в определении эквивалентности поменять ковариантные функторы на контравариантные.)
\end{definition}

\vspace{2em}

\begin{definition}
Категория $\categ{C}$ называется \term{скелетной}, если в ней нет нетривиальных изоморфизмов: т.е. для всех $X,Y \in \Ob(\categ{C})$ выполняется $X \isom Y \Rightarrow X = Y$.

\term{Скелетом} $\Sk(\categ{C})$ категории $\categ{C}$ называется полная скелетная подкатегория в $\categ{C}$, такая что

\[ \forall X\in\Ob(\categ{C}) ~ \exists Y\in\Ob(\Sk(\categ{C})) ~ X \isom Y. \]
\end{definition}

$\Sk(\categ{C})$ существует по аксиоме выбора для классов и единственен с точностью до изоморфизма.

\begin{proposition}
Имеется естественная эквивалентность $\categ{C} \simeq \Sk (\categ{C})$.
\end{proposition}

\begin{proposition}
$\categ{C} \simeq \categ{D}$ iff $\Sk(\categ{C}) \isom \Sk(\categ{D})$.

\begin{proof}
Имеем $\Sk (\categ{C}) \simeq \categ{C} \simeq \categ{D} \simeq \Sk (\categ{D})$. Для скелетов из $\Sk (\categ{C}) \simeq \Sk (\categ{D})$ следует $\Sk (\categ{C}) \isom \Sk (\categ{D})$.
\end{proof}
\end{proposition}

\begin{proposition}
$\categ{C} \simeq \categ{D}^*$ iff $\Sk (\categ{C}) \isom \Sk (\categ{D})^* \isom \Sk (\categ{D}^*)$.
\end{proposition}

Таким образом, мы получили еще одно определение эквивалентности. Рассмотрим примеры скелетов.

\subsection{Скелет категории $\categ{Set}$}

\begin{definition}
Множество $(X,<)$ называется \term{вполне упорядоченным}, если каждое его конечное подмножество содержит наименьший элемент.
\end{definition}

\emph{Для всякого множества $X$ существует порядок $<$, такой что $(X,<)$ вполне упорядоченное.} (Этот факт эквивалентен аксиоме выбора.)

\begin{definition}
Множество $X$ называется \term{транзитивным}, если

\[ x\in X \text{ и } y\in x ~ \Rightarrow ~ y \in X. \]

Множество называется \term{ординалом}, если оно транзитивно и вполне упорядоченно по отношению $\in$.
\end{definition}

\begin{itemize}
\item Класс всех ординалов транзитивный и вполне упорядоченный.

\item Каждое вполне упорядоченное множество $(X,<)$ изоморфно какому-то ординалу $(\alpha,\in)$. Он называется \term{порядковым типом} для $(X,<)$.

\item $(\alpha,\in) \isom (\beta,\in)$ iff $\alpha = \beta$.

\item $\emptyset$ является наименьшим ординалом.

\item Если $\alpha$~--- ординал, то $\alpha + 1 \dfn \alpha \cup \{\alpha\}$~--- тоже ординал.

\item Если $C$~--- множество ординалов, то $\delta \dfn \bigcup\limits_{\alpha\in C} \alpha$ есть ординал и наименьшая верхняя граница ординалов из $\categ{C}$.
\end{itemize}

Отсюда получается описание ординалов: сначала идут \term{конечные ординалы}

\begin{eqnarray*}
\mathbf{0} & = & \emptyset,\\
\mathbf{1} & = & \{\emptyset\},\\
\mathbf{2} & = & \{\emptyset, \{\emptyset\}\},\\
\mathbf{3} & = & \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\},\\
& \vdots & \\
\mathbf{n+1} & = & \mathbf{n} \cup \{ \mathbf{n} \} = \{ \mathbf{0}, \mathbf{1}, \ldots, \mathbf{n-1} \}.
\end{eqnarray*}

Это натуральные числа. Следующим ординалом будет их объединение

\[ \omega_0 = \{ \mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{3}, \ldots \}. \]

\begin{definition}
Для множества $X$ за $|X|$ обозначается наименьший ординал $\alpha$, для которого $(X,<) \isom (\alpha,\in)$.
\end{definition}

$X \isom Y$ в категории $\categ{Set}$ iff $|X| = |Y|$.

Дальше ряд ординалов продолжается \term{первым несчетным ординалом}

\[ \omega_1 \dfn \{ \alpha \mid |\alpha| \le \omega_0 \}. \]

И вообще рекурсивно определяется

\[ \omega_{\alpha+1} \dfn \{ \delta \mid |\delta| = \omega_\alpha \}. \]

Если ординал $\alpha \ne \mathbf{0}$ не представляется в виде $\beta \cup \{\beta \}$, то он называется \term{предельным}. Для предельного $\alpha$

\[ \omega_\alpha \dfn \sup_{\beta < \alpha} \omega_\beta. \]

\begin{definition}
\term{Кардиналом} называется такой ординал $\alpha$, что $|\alpha| = \alpha$.
\end{definition}

Определенные $\omega_\alpha$ являются кардиналами, и для них используются обозначения $\aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \ldots$

\vspace{2em}

Мы прерываем экскурс в теорию множеств и возвращаемся к теории категорий. В категории $\categ{Set}$ ординалы образуют полную подкатегорию $\categ{Ordin}$, причем это скелет. Таким образом, $\categ{Set} \simeq \categ{Ordin}$.

Аналогично $\categ{FinSet} \simeq \categ{FinOrdin}$.

\subsection{Скелеты категории ${}_k\categ{vect}$ и $\categ{vect}_k$}

Мы рассматриваем конечномерные векторные пространства над полем $k$. Как все знают, для них $U \isom V \iff \dim U = \dim V$.

Мы не делаем распространенную ошибку и не путаем категорию \term{левых векторных пространств} ${}_k\categ{vect}$ и категорию \term{правых векторных пространств} $\categ{vect}_k$. В левых пространствах морфизмы компонуются как $(x)(\phi\circ\psi) = ((x)\phi)\psi$, а в правых~--- как $(\phi\circ\psi)\,(x) = \phi(\psi(x))$.

Для каждого $n = 0, 1, 2, \ldots$ можем определить левое векторное пространство

\[ {}^n k \dfn \{ (x_1,\ldots,x_n) \mid x_i \in k \}. \]

Получаем подкатегорию левых \term{арифметических векторных пространств} ${}_k\categ{vect}^0$, в которых объекты~--- пространства ${}^n k$, а морфизмы~--- $\Hom ({}^m k, {}^n k) = \mathcal{M} (m,n,k)$.

\[ {}_k\categ{vect} \simeq {}_k\categ{vect}^0 \]

Для каждого $n = 0, 1, 2, \ldots$ можем определить правое векторное пространство

\[ k^n \dfn \{ \left(\begin{array}{c}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{array}\right) \mid x_i \in k \}. \]

Они образуют подкатегорию $\categ{vect}_k^0$.

${}_k\categ{vect}^0$ и $\categ{vect}_k^0$~--- это скелеты категорий ${}_k\categ{vect}$ и $\categ{vect}_k$, и можно построить антиизоморфизм

\begin{eqnarray*}
{}_k\categ{vect}^0 & \to & (\categ{vect}_k^0)^*\\
{}^n k & \rightsquigarrow & k^n\\
\boxed{\begin{array}{rcl}
{}^m k & \xrightarrow{x} & {}^n k\\
u & \mapsto & u\,x
\end{array}} & \rightsquigarrow & \boxed{\begin{array}{rcl}
k^n & \xrightarrow{x} & k^m\\
v & \mapsto & x\,v
\end{array}}
\end{eqnarray*}

В силу антиизоморфизма ${}_k\categ{vect}^0 \isom (\categ{vect}_k^0)^*$, имеем антиэквивалентность

\[ {}_k\categ{vect} \simeq \categ{vect}_k^*. \]

Это называется \term{двойственностью для конечномерных векторных пространств}.

Двойственность можно построить, не обращаясь к скелетам. Пусть $V$~--- левое $k$-векторное пространство, а $V^* \dfn \Hom (V,k)$~--- двойственное правое $k$-векторное пространство. Тогда антиэквивалентность задается так:

\[ U \xrightarrow{f} V \rightsquigarrow V^* \xrightarrow{f^*} U^*, \]

\noindent где $f^*\colon \eta \mapsto f\,\eta$.

\[ \xymatrix{
U \ar[rr]^f\ar@{-->}[dr]_{f\,\eta} & & V \ar[dl]^\eta \\
& k
} \]

Для конечномерных пространств существует естественный изоморфизм $V^{**} \isom V$. Здесь звездочки $*$ обозначают два разных функтора: $F\colon {}_k\categ{vect}\to\categ{vect}_k$ и $G\colon \categ{vect}_k\to{}_k\categ{vect}$, таких что $F\,G\isom \bu_{{}_k\categ{vect}}$ и $G\,F\isom \bu_{\categ{vect}_k}$.

Естественного изоморфизма между $V^*$ и $V$ \emph{не существует}, и он возникает только при замене категории.

\begin{itemize}
\item $V^* \isom V$ в \term{категории конечномерных векторных пространств с фиксированным базисом}.

\item $V^* \isom V$ в \term{категории конечномерных векторных пространств с невырожденными билинейными формами}.

В ней объектами являются пары $(V,B_V)$, где $B_V\colon V\times V\to k$~--- билинейная форма, для которой выполняется условие невырожденности:

\begin{gather*}
u\ne 0 \Rightarrow \exists v ~ B (u,v) \ne 0,\\
v\ne 0 \Rightarrow \exists u ~ B (u,v) \ne 0.
\end{gather*}

Морфизмы $f\colon (U,B_U) \to (V,B_V)$~--- это линейные отображения $U\to V$, которые сохраняют билинейные формы:

\[ \xymatrix{
U\times U \ar[rr]^{f\times f}\ar[dr]_{B_U} & & V\times V \ar[dl]^{B_V} \\
& k
} \]

\[ B_U (u,v) = B_V (f(u), f(v)). \]

Изоморфизм $V^* \isom V$ дает отображение

\begin{eqnarray*}
V & \to & V^*, \\
u & \mapsto & B_V (u, -).
\end{eqnarray*}

\begin{exercise}
Дописать эту конструкцию и показать естественность изоморфизма.
\end{exercise}
\end{itemize}

\subsection{Еще одно описание эквивалентности категорий}

\begin{definition}
Для функтора $F\colon \categ{C}\to\categ{D}$ и объектов $X, Y \in \Ob (\categ{C})$ рассмотрим отображение

\begin{eqnarray*}
\Hom_\categ{C} (X,Y) & \to & \Hom_\categ{D} (F(X), F(Y)),\\
\phi & \mapsto & F (\phi).
\end{eqnarray*}

\begin{itemize}
\item Если это отображение инъективно для всех $X$ и $Y$, то $F$ называется \term{строгим} (\emph{faithful}).

\item Если это отображение сюръективно для всех $X$ и $Y$, то $F$ называется \term{полным} (\emph{full}).
\end{itemize}
\end{definition}

\begin{proposition}
Пусть $F\colon \categ{C}\to\categ{D}$~--- ковариантный функтор. Он является эквивалентностью категорий iff

\begin{enumerate}
\item $F$ строгий и полный.

\item Для всякого $Y \in \Ob (\categ{D})$ существует $X \in \Ob (\categ{C})$, такой что $Y \isom F(X)$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\noindent Доказательство~--- Букур--Деляну или Гельфанд--Манин.

\vspace{2em}

Дальше мы рассмотрим три важных примера антиэквивалентности категорий:

\begin{itemize}
\item двойственность Понтрягина,

\item аффинные алгебраические многообразия,

\item теория Галуа.
\end{itemize}

\subsection{Двойственность Понтрягина}

\begin{definition}[Отто Шрайер, 1926]
$G$ называется \term{топологической группой}, если $G$ снабжена топологией и непрерывным умножением $(x,y) \mapsto x\,y$ и взятием обратного элемента $x \mapsto x^{-1}$.
\end{definition}

Категория $\categ{TopGrp}$ топологических групп состоит из топологических групп и непрерывных гомоморфизмов между ними. $\categ{LCAb}$~--- категория абелевых локально компактных групп~--- является полной подкатегорией в $\categ{TopGrp}$.

\begin{proposition}[Двойственность Понтрягина]
Существует антиэквивалентность категорий

\[ \categ{LCAb} \simeq \categ{LCAb}^*. \]
\end{proposition}

Категория компактных абелевых групп $\categ{CAb}$ и категория (дискретных) абелевых групп $\categ{Ab}$ являются полными подкатегориями в $\categ{LCAb}$. Из двойственности Понтрягина выводится антиэквивалентность

\[ \categ{CAb} \simeq \categ{Ab}^*. \]

Функтор $\widehat{~}\colon \categ{LCAb} \to \categ{LCAb}^*$, дающий двойственность Понтрягина, устроен так:

\[ G \rightsquigarrow \widehat{G} \dfn \Hom_\categ{TopGrp} (G,\mathbb{T}), \]

\noindent где $\mathbb{T} \dfn \{ z \in \mathbb{C}^* \mid |z| = 1 \}$.

Групповая структура на $\widehat{G}$~--- это поточечное произведение характеров:

\[ (\phi\,\psi) (g) \dfn \phi(g)\,\psi(g). \]

$\widehat{G}$ снабжается топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах. Сейчас мы разберем, что это такое.

\vspace{2em}

Пусть $U$~--- окрестность $1$ в топологической группе $G$. Рассмотрим

\begin{eqnarray*}
U_d & \dfn & \{ (x,y) \in G\times G \mid x\,y^{-1} \in U \},\\
U_s & \dfn & \{ (x,y) \in G\times G \mid x^{-1}\,y \in U \}.
\end{eqnarray*}

Базу \term{системы окружений} в $G$ задает множество

\[ \{ U_d \mid U\text{~--- окрестность }1\text{ в }G \}. \]

Соответственно, на $G$ возникает \term{равномерная структура}.

\begin{definition}
$X$ называется \term{равномерным пространством}, если задано подмножество $B\subseteq X\times X$ \term{окружений равномерной структуры}, таких что

\begin{enumerate}
\item $B$ является ультрафильтром:

\begin{gather*}
U, V \in B \Rightarrow U\cap V \in B,\\
U\in B, U\subseteq V \Rightarrow V\in B.
\end{gather*}

\item Для всякого $U\in B$ выполняется $\Delta_x \subseteq U$, где

\[ \Delta_x \dfn \{ (x,x) \mid x\in X \}. \]

\item Для всякого $U \in B$ найдется $V\in B$, такое что $V^\prime\subseteq U$, где

\[ V^\prime \dfn \{ (y,x) \mid (x,y) \in V \}. \]

\item Для всякого $U \in B$ найдется $V \in B$, такое что $V\cdot V \subseteq U$, где

\[ V\cdot V \dfn \{ (x,y) \mid \exists z\in X ~ (x,z), (z,y) \in V \}. \]
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}
Отображение $(X,B_X) \xrightarrow{f} (Y,B_Y)$ называется \term{равномерно непрерывным}, если для всякого $U \in B_U$ выполняется $(f\times f)^{-1} (U) \in B_X$.
\end{definition}

Имеем категорию $\categ{Unif}$ равномерных пространств и равномерных отображений.

Так как мы просто ввели дополнительную структуру, напоминающую обычную топологию, то существует забывающий функтор $\categ{Unif} \to \categ{Top}$.

\vspace{2em}

На любой топологической группе существует две равномерные структуры, правая и левая, но для абелевых (и локально компактных) групп они совпадают.

\begin{definition}
Пусть $X$~--- любое множество, и $Y$~--- равномерное пространство. Пусть $U \in B_Y$~--- окружение. Определим $U_X \subseteq Y^X\times Y^X$

\[ U_X \dfn \{ (f,g) \mid f,g\colon X\to Y, \quad \forall x\in X ~ (f(x),g(x)) \in U \}. \]

$U_X$ возьмем за базу системы окружений в $Y^X$. Соответствующая топология называется \term{топологией равномерной сходимости} на $Y^X$.
\end{definition}

\begin{definition}
\term{Топологией сходимости на компактных подмножествах} называется самая слабая топология, которая при ограничении всякое компактное $X \subseteq G$ индуцирует определенную выше топологию на $Y^X$.
\end{definition}

\begin{proposition}[Теорема Понтрягина]
Имеется естественный изоморфизм топологических групп

\[ G \isom \widehat{\widehat{G}}. \]
\end{proposition}

\[ x \mapsto (\phi \xmapsto{ev_x} \phi(x)). \]

Соответствующий функтор на стрелках устроен так:

\[ \xymatrix{
H\ar[rr]^f\ar@{-->}[dr] & & G\ar[dl]^\phi \\
 & \mathbb{T}
} \]

\begin{eqnarray*}
\widehat{G} & \xrightarrow{\widetilde{f}} & \widetilde{H},\\
\phi & \mapsto & f\,\phi.
\end{eqnarray*}

Это квазиобратный сам к себе контравариантный функтор ($\widehat{f\,g} = \widehat{g}\,\widehat{f}$).

\vspace{2em}

Пример: $\widehat{\mathbb{T}} = \mathbb{Z}$, $\widehat{\mathbb{Z}} = \mathbb{T}$; $\widehat{\mathbb{R}} = \mathbb{R}$.

Если $G$~--- компактная группа, то $\widehat{G}$~--- дискретная. Если $G$~--- дискретная группа, то $\widehat{G}$~--- компактная. Если $G$~--- конечная абелева группа, то $G \isom \widehat{G}$, однако это не естественный изоморфизм (в то время как изоморфизм $G \isom \widehat{\widehat{G}}$, как мы сказали, уже естественный).

\subsection{Аффинные алгебраические многообразия}
\label{affine-algebraic-varieties}

В рамках всего этого раздела, пусть $k$~--- алгебраически замкнутое поле.

\begin{definition}
Пространство точек $\mathbb{A}^n \dfn \{ (a_1,\ldots,a_n) \mid a_1,\ldots,a_n \in k \}$ называется \term{аффинным пространством}.
\end{definition}

\begin{definition}
Пусть $f_1, \ldots, f_\ell \in k[x_1,\ldots,x_n]$~--- многочлены от $n$ переменных. \term{Аффинным алгебраическим многообразием} $V (f_1,\ldots,f_\ell)$ называется множество их общих нулей:

\[ V(f_1,\ldots,f_\ell) \dfn \{ a \in \mathbb{A}^n \mid f_1 (a) = \cdots = f_\ell (a) = 0 \}. \]
\end{definition}

Понятно, что вместо общих нулей $f_1, \ldots, f_\ell$ можно рассмотреть общие нули многочленов из идеала $I = (f_1,\ldots,f_\ell)$, порожденного $f_1,\ldots,f_\ell$. То, что мы ограничиваемся конечным множеством из $\ell$ многочленов несущественно, потому что по теореме Гильберта о базисе, всякий идеал в $k [x_1,\ldots,x_n]$ является конечно порожденным.

Мы имеем такое соответствие между идеалами в кольце $k[x_1,\ldots,x_n]$ и аффинными алгебраическими многообразиями:

\[ k [x_1,\ldots,x_n] \supseteq I ~ \mapsto ~ V(I) \subseteq \mathbb{A}^n. \]

В другую сторону, можно сопоставить всякому подмножеству $X \subseteq \mathbb{A}^n$ идеал, состоящий из зануляющихся на $X$ многочленов:

\[ I (X) \dfn \{ f \in k[x_1,\ldots,x_n] \mid f(a) = 0 \text{ для всех } a \in X \}. \]

Имеем соответствие

\[ \mathbb{A}^n \supseteq X ~ \mapsto ~ I(X) \subseteq k [x_1,\ldots,x_n]. \]

\begin{definition}
\term{Топологией Зариского} на $\mathbb{A}^n$ называется такая топология, в которой замкнутыми являются аффинные алгебраические многообразия.
\end{definition}

Это действительно топология:

\begin{itemize}
\item $\emptyset = V (1)$, $\mathbb{A}^n = V(0)$.

\item Если $X_1 = V(I_1)$ и $X_2 = V(I_2)$, то $X_1 \cup X_2 = V (I_1 \cdot I_2)$.

\item Если $X_\alpha = V(I_\alpha)$ для семейства алгебраических многообразий $X_\alpha$ (не обязательно конечного), тогда $\bigcap_\alpha X_\alpha = V (\bigcap_\alpha I_\alpha)$.
\end{itemize}

На подмногообразии $X \subseteq \mathbb{A}^n$ возникает индуцированная топология.

Заметим, что иногда $V(I)$ называют \term{аффинным алгебраическим множеством}, а алгебраическим многообразием называется неприводимое алгебраическое множество. (Множество $X$ \term{неприводимое}, если его нельзя представить в виде объединения собственных замкнутых подмножеств $X = X_1 \cup X_2$.) Здесь мы не следуем такой терминологии.

\begin{definition}
\term{Замыкание по Зарискому} для подмножества $X \subseteq \mathbb{A}^n$ есть алгебраическое многообразие $V (I(X)) = \overline{X}$.
\end{definition}

\begin{definition}
\term{Радикалом} для идеала $I \subseteq k [x_1,\ldots,x_n]$ называется идеал

\[ \Rad (I) \dfn \{ f \in k [x_1,\ldots,x_n] \mid f^r \in I \text{ для некоторого } r = 1, 2, \ldots \}. \]
\end{definition}

\noindent (Проверьте, что это действительно идеал!)

\begin{proposition}[Теорема Гильберта о нулях, Nullstellensatz]
Как и раньше, мы предполагаем, что $k$~--- алгебраически замкнутое поле. Для всякого идеала $I \subseteq k [x_1,\ldots,x_n]$

\[ I (V(I)) = \Rad (I). \]
\end{proposition}

Имеется соответствие

\begin{eqnarray*}
\text{максимальный идеал } \mathfrak{m} \subset k[X] & \leftrightarrow & \text{точка }x\in X \\
\text{простой идеал } \mathfrak{p} \subset k[X] & \leftrightarrow & \text{замкнутое подмногообразие }Y\subseteq X
\end{eqnarray*}

Теорема о нулях устанавливает антиэквивалентность некоторых категорий. Сейчас мы разберемся, каких.

\begin{definition}
\term{Категория $\categ{AffVar}_k$ аффинных алгебраических многообразий} имеет в качестве объектов алгебраические многообразия, а в качестве морфизмов~--- \term{регулярные отображения} $X\xrightarrow{f} Y$, то есть отображения

\begin{eqnarray*}
X & \to & Y,\\
a & \mapsto & (f_1 (a), \ldots, f_\ell (a)),
\end{eqnarray*}

\noindent где $f_1, \ldots, f_\ell \in k [x_1,\ldots,x_n]$. Причем морфизмы $X\xrightarrow{f} Y$ рассматриваются по модулю $I(X)$.
\end{definition}

В частности, множество $\Reg (X,k)$ регулярных отображений между $X$ и $\mathbb{A}^1$ есть \term{координатное кольцо}

\[ k[X] \dfn k[x_1,\ldots,x_n] / I(X). \]

$k[X]$~--- это конечно порожденная алгебра и в ней нет нетривиальных нильпотентов. Такой объект называется \term{аффинной алгеброй}.

Если имеется регулярное отображение $X \xrightarrow{f} Y$, то ему соответствует отображение аффинных алгебр в обратную сторону $k[Y] \xrightarrow{f^*} k[X]$.

\[ \xymatrix{
X \ar[rr]^f\ar@{-->}[dr] & & Y\ar[dl]^\phi \\
 & k &
} \]

У нас получился контравариантный функтор $\categ{AffVar}_k \to \categ{AffAlg}_k$ между категорией аффинных алгебраических многообразий $\categ{AffVar}_k$ и категорией аффинных алгебр $\categ{AffAlg}_k$. На самом деле, это антиэквивалентность категорий.

\[ \categ{AffVar}_k \simeq \categ{AffAlg}_k^*. \]

Антиэквивалентность следует из того, что

\begin{itemize}
\item $I (V(I)) = I$ для радикального идеала $I$ (такого что $I = \Rad (I)$).

\item $V (I(X)) = X$ для алгебраического многообразия $X$.
\end{itemize}

\noindent (Мы обсудили только то, как по алгебраическому многообразию $X$ получается алгебра $k[X]$, но можно и строить алгебраическое многообразие по алгебре~--- это несложно придумать из рассказа выше или прочитать в учебниках.)

\vspace{2em}

Рекомендуемые книги для тех, кто заинтересовался алгебраической геометрией:

\begin{itemize}
\item Майлс Рид, \emph{Алгебраическая геометрия для всех}.

\item Дэвид Мамфорд, \emph{Красная книга о многообразиях и схемах}.

\item David Eisenbud, Joe Harris, \emph{The Geometry of Schemes}.

\item Робин Хартсхорн, \emph{Алгебраическая геометрия}.
\end{itemize}

\vspace{2em}

Аффинная алгебраическая геометрия над алгебраически замкнутым полем~--- это далеко не единственный пример теории, в которой используется эквивалентность некоторой категории геометрических объектов (многообразий) и категории алгебраических объектов (колец / модулей / алгебр с дополнительной структурой).

\begin{itemize}
\item Можно работать с некоммутативными кольцами и рассматривать двойственные к ним объекты. Получается \term{некоммутативная алгебраическая геометрия}. Cf. \url{http://mathoverflow.net/questions/10512/theories-of-noncommutative-geometry}

\item \term{Теория Гельфанда} работает с двойственностью

\[ \text{компактное хаусдорфово пространство } X ~\leftrightarrow~ \text{нормированное кольцо комплексных функций } \mathbb{C}(X). \]

\TBW: хорошо бы добавить ссылку на соответствующую книгу или обзор (видимо, это всё берет начало из \url{http://mi.mathnet.ru/umn7036}).

\item \term{Diffiety} работает с двойственностью

\[ \text{гладкое многообразие } X ~\leftrightarrow~ \text{гладкая алгебра } \mathbb{C}^\infty (X). \]

Об этом см. книгу Джет Неструев, \emph{Гладкие многообразия и наблюдаемые}.
\end{itemize}

\subsection{Теория Галуа}

Теория Галуа изучает расширения полей. Мы пока для простоты будем считать, что у нас все расширения конечномерные, $|L:K| < \infty$.

\begin{definition}
Расширение полей $L/K$ называется \term{расширением Галуа}, если оно нормальное и сепарабельное.
\end{definition}

\begin{proposition}
Рассмотрим расширение полей $L/K$. Если это расширение Галуа, то существует соответствие между подполями в $L$, содержащими $K$, и подгруппами в \term{группе Галуа} $\Gal (L/K)$:

\[ K \le F \le L ~ \leftrightarrow ~ H \le \Gal (L/K), \]

\noindent где $\Gal (L/K)$~--- группа автоморфизмов, оставляющих на месте элементы $K$:

\[ \Gal (L/K) \dfn \Aut_K (L) \dfn \{ \phi \in \Aut(L) \mid \left.\phi\right|_K = 1_K \}. \]
\end{proposition}

Соответствие устроено так:

\begin{eqnarray*}
L^H & \mapsfrom & H, \\
F & \mapsto & \Gal (L/F).
\end{eqnarray*}

\[ L^H \dfn \{ x\in L \mid \forall \phi\in H \quad \phi(x) = x \}. \]

\begin{eqnarray*}
H_1 \le H_1 & \Rightarrow & L^{H_2} \le L^{H_1},\\
F_1 \le F_2 & \Rightarrow & \Gal (L/F_2) \le \Gal (L/F_1).
\end{eqnarray*}

\vspace{2em}

Для каждого поля $K$ существует его \term{алгебраическое замыкание} $\overline{K}$ (единственное с точностью до изоморфизма). См. Lang, \emph{Algebra}, V.\S2. Это не обязательно конечное расширение~--- например, $\mathbb{Q}_{alg}/\mathbb{Q}$ не конечно.

\begin{definition}
Группа $\Gal (K) \dfn \Gal (\overline{K}/K)$ называется \term{абсолютной группой Галуа} поля $K$.
\end{definition}

Например, вычислена $\Gal (\mathbb{Q}_p)$ при $p \ne 2$; при $p = 2$ задача не решена. Структура группы $\Gal (\mathbb{Q})$~--- это большой вопрос науки.

\begin{definition}
Для конечных расширений $L/K$ можно рассмотреть подгруппы $\Gal (\overline{K}/L) \le \Gal (\overline{K}/K)$ (они имеют конечный индекс). \term{Топологией Крулля} на $\Gal (K)$ называется топология, в которой базой окрестностей единицы служат такие подгруппы $\Gal (\overline{K}/L)$.
\end{definition}

Основная теорема теории Галуа в форме Крулля устанавливает соответствие

\[ K \le L \le \overline{K} ~ \leftrightarrow ~ \text{замкнутые подгруппы в }\Gal (K). \]

\vspace{2em}

\begin{definition}
$X$ называется \term{$G$-множеством}, если на нем задано \term{действие} $G$ слева, т.е. отображение $G\times X \mapsto X$, $(g,x) \mapsto g\cdot x$, такое что

\begin{eqnarray*}
(h\,g)\cdot x & = & h\cdot (g\cdot x),\\
1\cdot x & = & x.
\end{eqnarray*}
\end{definition}

Морфизмом $G$-множеств (\term{эквивариантным отображением}) называется такое отображение $f\colon X\to Y$, что

\[ f (g\cdot x) = g\cdot f (x). \]

$G\text{-}\categ{Set}$~--- это категория $G$-множеств и эквивариантных отображений.

\begin{definition}
\term{Категория групповых действий} состоит из пар $(G,X)$, где $X$~--- $G$-множество, и морфизмов $\phi\times f$, при которых следующая диаграмма коммутативна:

\[ \xymatrix{
G\times X\ar[r]\ar[d]_{\phi\times f} & X\ar[d]^f \\
H\times Y\ar[r] & Y
} \]

\noindent (горизонтальные стрелки~--- это действия групп).
\end{definition}

Нас будут интересовать конечные $G$-множества и непрерывные действия $G\times X \to X$ (где $X$ снабжается дискретной топологией).

\begin{proposition}[Основная теорема теории Галуа]
Существует антиэквивалентность категорий

\[ \categ{Top}\text{-}G\text{-}\categ{Set} \simeq \categ{A}_K^*. \]
\end{proposition}

Здесь $\categ{A}_K$~--- категория сепарабельных $K$-алгебр.

\vspace{2em}

\TBW: где это всё подробно написано? Автору конспекта известна книга Régine et Adrien Douady, \emph{Algèbre et théories galoisiennes}, Chapitre 5 (там всё как раз в терминах антиэквивалентности категорий).

\section{Образующие и кообразующие категорий}

\begin{definition}
Элемент $X \in \Ob(\categ{C})$ называется \term{образующей} категории, если

\begin{enumerate}
\item Для всякого $Y \in \Ob (\categ{C})$ имеем $\Hom_\categ{C} (X,Y) \ne \emptyset$.

\item Для всякой пары различных морфизмов $f,g \in \Hom_\categ{C} (Y,Z)$ существует морфизм $h\in \Hom_\categ{C} (X,Y)$, такой что $h\,f \ne h\,g$.

\[ \xymatrix{
X\ar[r]^h & Y\ar@/^1em/[r]^f \ar@/_1em/[r]_g & Z
} \]
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}
Элемент $X \in \Ob(\categ{C})$ называется \term{кообразующей} категории, если это образующая в $\categ{C}^*$. То есть,

\begin{enumerate}
\item Для всякого $Y \in \Ob (\categ{C})$ имеем $\Hom_\categ{C} (Y,X) \ne \emptyset$.

\item Для всякой пары различных морфизмов $f,g \in \Hom_\categ{C} (Y,Z)$ существует морфизм $h\in \Hom_\categ{C} (Z,X)$, такой что $f\,h \ne g\,h$.

\[ \xymatrix{
Y\ar@/^1em/[r]^f \ar@/_1em/[r]_g & Z\ar[r]^h & X
} \]
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{itemize}
\item В $\categ{Set}$ кообразующей является любое множество $X$, такое что $|X| \ge 2$.

\item В $\categ{Set}_\bullet$ любое множество, отличное от $\{ \bullet \}$, является образующей.

\item В $\categ{vect}_k$ всякое ненулевое векторное пространство является образующей и кообразующей.

\item В $\categ{Grp}$ и $\categ{Ab}$ образующей является группа $\mathbb{Z}$.

\item В категории $\categ{Ab}$ кообразующая~--- это $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$.

\item В категории $\categ{Grp}$ кообразующих нет (существуют простые группы любой мощности).
\end{itemize}

Остается в качестве упражнения подумать о образующих и кообразующих в других категориях, например $\categ{Top}$, $\categ{CompTop}$, $\categ{Ord}$.

\vspace{2em}

Категория, двойственная к конкретной категории, сама является конкретной. Например, интересно узнать, как выглядит категория $\categ{Set}^*$. А именно, $\categ{Set}^*$ изоморфна некоторой подкатегории $\categ{Set}$.

Пусть $Z$~--- кообразующая в $\categ{Set}$ (образующая в $\categ{Set}^*$). Рассмотрим контравариантный функтор $F\colon \categ{Set} \to \categ{Set}$

\begin{eqnarray*}
X & \rightsquigarrow & \Map (X,Z),\\
X\xrightarrow{f} Y & \rightsquigarrow & \Map (Y,Z)\xrightarrow{F(f)} \Map (X,Z).
\end{eqnarray*}

\[ \xymatrix{
X\ar[rr]^f & & Y\ar[dl]^h \\
 & Z\ar@{-->}[ul]^{h\,f}
} \]

\begin{itemize}
\item Если $X \ne Y$, то $\Map (X,Z) \cap \Map (Y,Z) = \emptyset$, то есть $F(X) \ne F(Y)$.

\item Если $f,g \in \Map (X,Y)$~--- различные морфизмы, то найдется такой морфизм $h \in \Map (Y,Z)$, что $h\,f \ne h\,g$, то есть $F(f) \ne F(g)$.
\end{itemize}

$F$~--- это вложение, и образ этого вложения изоморфен $\categ{Set}^*$.

\section{Абелевы категории}

\vspace{2em}

\noindent\begin{tabular}{|p{15.5cm}|}
\hline
Говорят, что 20 декабря речь шла о абелевых категориях. Конспекта нет, но в любом случае, абелевы категории предполагалось (?) изучать весной. Слушатели могут прислать свои записки в группу \texttt{coxeter@googlegroups.com}.\\
\hline
\end{tabular}

\vspace{2em}

Ссылки:

\begin{itemize}
\item С. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, \emph{Введение в гомологическую алгебру}, II.\S 5.
\item \url{http://ncatlab.org/nlab/show/abelian+category}
\item \url{http://en.wikipedia.org/wiki/Abelian_category}
\end{itemize}

\section{Теория топосов}

Мы начинаем изучать теорию топосов. Полезные источники:

\begin{itemize}
\item Р. Голдблатт, \emph{Топосы. Категорный анализ логики}~--- для начинающих.

\item П. Т. Джонстон, \emph{Теория топосов}~--- продвинутое изложение.
\end{itemize}

Когда говорят <<топос>>, имеют в виду одно из двух:

\begin{enumerate}
\item \term{Топос Гротендика} в алгебраической геометрии (Александр Гротендик, начало 60-х).

\item \term{Элементарный топос} в логике (William Lawvere, Myles Tierney, конец 60-х).
\end{enumerate}

Исторически понятие топоса происходит именно от Гротендика, который ввел его при определении этальных когомологий схем (SGA 4, exposé IV), но элементарный топос~--- это более общее и более простое понятие. Дальше мы будем понимать под топосом как раз элементарный топос, а к топосам Гротендика вернемся как к одному из примеров.

\subsection{Определение элементарного топоса}

Итак, топос~--- это такая категория, которая удовлетворяет аксиомам, в некотором смысле обобщающим свойства категории $\categ{Set}$. А именно, в категории $\categ{Set}$:

\begin{enumerate}
\item Можно на категорном языке определить объекты $\mathbf{0} = \emptyset$ (как универсальный отталкивающий объект) и $\mathbf{1} = \{\emptyset\}$ (как универсальный притягивающий объект). Кроме того, в некотором смысле категорно характеризуются $\cap$ и $\cup$, через расслоенное произведение и копроизведение.

\[ \xymatrix{
X\cap Y\ar@{^(->}[r]\ar@{_(->}[d] & Y\ar@{_(->}[d]^{i_Y}\ar@/^1em/[ddr] \\
X\ar@{^(->}[r]_{i_X}\ar@/_1em/[drr] & X\cup Y\ar@{-->}[dr] \\
 & & \bullet
} \quad
\xymatrix{\bullet \ar@{-->}[dr]\ar@/^1em/[drr]\ar@/_1em/[ddr] & \\
& X\cap Y \ar@{->>}[r]^{\pr_Y} \ar@{->>}[d]_{\pr_X} & Y \ar@{_(->}[d] \\
& X \ar@{^(->}[r] & X\cup Y
} \]

Когда мы говорим о том, что нечто описывается на категорном языке, мы, разумеется, имеем в виду, что определенная категорная конструкция дает нужный объект \emph{с точностью до изоморфизма}.

\item Отображения $X\to Y$ образуют множество $Y^X = \Hom_\categ{Set} (X,Y)$, т.е. снова объект $\categ{Set}$. Иными словами, в категории имеется \term{экспоненцирование}, которое по $X$ и $Y$ дает объект $Y^X$ с соответствующими свойствами.

\item Существует \term{классификатор подобъектов} $\Omega = \{ \mathbf{0}, \mathbf{1} \}$. Это означает, что каждому подмножеству $Y \subseteq X$ соответствует морфизм $X \xrightarrow{\chi_Y} \Omega$.

\[ \chi_Y (x) \dfn \left\{\begin{array}{ll}
\mathbf{0}, & x \notin Y,\\
\mathbf{1}, & x \in Y.
\end{array}\right. \]

\noindent (Подмножество~--- это не категорное понятие, но морфизм~--- уже категорное!)
\end{enumerate}

Сейчас мы подумаем над тем, как эти свойства можно переработать в набор аксиом, имеющих смысл не только для $\categ{Set}$, но и для произвольной категории $\categ{C}$. Это и будет определение топоса.

\vspace{2em}

Во-первых, потребуем, чтобы в $\categ{C}$ существовали все конечные пределы и копределы. Это равносильно существованию универсального отталкивающего объекта $\mathbf{0}$ и универсального притягивающего объекта $\mathbf{1}$, а также конечных расслоенных произведений и копроизведений.

\vspace{2em}

В категории $\categ{Set}$ существует естественная биекция

\[ \Map (Z, \Map (X,Y)) \isom \Map (Z\times X, Y). \]

А именно, функции $z \mapsto (g_z\colon X\to Y)$ можно сопоставить функцию $(z,x) \mapsto g_z (x)$. Подобное можно определить для произвольной категории $\categ{C}$:

\begin{definition}
Говорят, что в категории существует \term{экспоненцирование}, если в ней существуют конечные произведения и копроизведения, и для любых двух объектов $X,Y \in \Ob (\categ{C})$ существует объект $Y^X \in \Ob (\categ{C})$, такой что для всех $Z \in \Ob(\categ{C})$ возникает естественная биекция

\[ \Hom_\categ{C} (Z, Y^X) \isom \Hom_\categ{C} (Z\times X, Y). \]
\end{definition}

Если объект $Y^X$ существует, то он единственный с точностью до изоморфизма.

Естественную биекцию $\Hom_\categ{C} (Z, Y^X) \isom \Hom_\categ{C} (Z\times X, Y)$ можно получить так: скажем, что объект $Y^X$ по определению является экспонентой, если он возникает вместе с морфизмом

\[ ev\colon Y^X\times X \to Y, \]

\noindent так что для всякого морфизма $Z\times X \xrightarrow{g} Y$ существует единственный морфизм $Z \xrightarrow{\widehat{g}} Y^X$, для которого следующая диаграмма коммутативна:

\[ \xymatrix {Y^X\ar[dr]^{ev} \\
 & Y \\
Z\times X\ar[ur]_g\ar@{-->}[uu]^{\widehat{g}\times 1_X}} \]

Для экспонент можно доказать ожидаемые свойства, аналогичные тем, что выполняются в категории $\categ{Set}$:

\begin{proposition}
Пусть в $\categ{C}$ существуют конечные пределы и копределы и экспоненцирование. Тогда для всех $X \in \Ob(\categ{C})$ выполняется

\begin{enumerate}
\item $\mathbf{0} \times X \isom \mathbf{0}$.

\item $\Hom_\categ{C} (X,\mathbf{0}) \ne \emptyset \Rightarrow X \isom \mathbf{0}$ (в $\mathbf{0}$ отображается только $\mathbf{0}$).

\item Если $\mathbf{0} \isom \mathbf{1}$, то все объекты изоморфны.

\item $\mathbf{0} \to X$~--- мономорфизм.

\item $X^\mathbf{1} \isom X$.

\item $X^\mathbf{0} \isom \mathbf{1}$.

\item $\mathbf{1}^X \isom \mathbf{1}$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\noindent (Вывод этих свойств из определений остается в качестве упражнения.)

\vspace{2em}

Осталось разобраться с тем, как в произвольной категории вводится понятие подобъекта. У нас нет понятия \emph{вложения} $Y \hookrightarrow X$, как в случае $\categ{Set}$, но есть понятие \emph{мономорфизма} $Y \rightarrowtail X$. Для двух мономорфизмов $\xymatrix{Y \ar@{>->}[r]^f& X}$ и $\xymatrix{Z \ar@{>->}[r]^g& X}$ мы говорим, что $f \subseteq g$, если существует морфизм $Y \xrightarrow{h} Z$, делающий следующую диаграмму коммутативной:

\[ \xymatrix{
Y\ar[dd]_h\ar@{>->}[dr]^f \\
 & X \\
Z\ar@{>->}[ur]_g
} \]

Для такого отношения на мономорфизмах выполняется

\begin{enumerate}
\item $f \subseteq f$.

\item $f \subseteq g, g \subseteq h \Rightarrow f \subseteq h$.

\item $f \subseteq g \subseteq f \Rightarrow f \isom g$ (это мы берем за определение изоморфизма $f$ и $g$).
\end{enumerate}

\term{Классом подобъектов} объекта $X \in \Ob(X)$ называется

\[ \Sub (X) \dfn \{ [f] \mid f\colon Y \rightarrowtail X \}, \]

\noindent где $[f]$~--- класс всех мономорфизмов $Z \rightarrowtail X$, изоморфных $f$.

$\Sub$~--- это контравариантный функтор ($X\to Y ~ \rightsquigarrow ~ \Sub(Y) \to \Sub(X)$).

\vspace{2em}

Вспомним теперь, что в $\categ{Set}$ каждому подмножеству $Y \subseteq X$ сопоставляется морфизм $X \xrightarrow{\chi_Y} \{ \mathbf{0}, \mathbf{1} \}$. Это означает, что для всякого вложения $Y \hookrightarrow X$ существует единственный морфизм $\chi_Y$, такой что возникает декартов квадрат

\[ \xymatrix{
\bullet\ar@{-->}[dr]\ar@/^1em/[drr]\ar@/_1em/[ddr] \\
& Y\ar@{^(->}[r]\ar[d] & X\ar[d]^{\chi_Y} \\
& \mathbf{1}\ar[r]_t & \{\mathbf{0},\mathbf{1}\}
} \]

Это мотивирует следующее определение в рамках произвольной категории.

\begin{definition}
Пусть $\categ{C}$~--- категория с конечными пределами и копределами. \term{Классификатором подобъектов} в $\categ{C}$ называется объект $\Omega \in \Ob (\categ{C})$ вместе с морфизмом $\mathbf{1} \xrightarrow{t} \Omega$, таким что для каждого мономорфизма $f\colon Y \rightarrowtail X$ существует единственный морфизм $X \xrightarrow{\chi_f} \Omega$, делающий следующий квадрат декартовым:

\[ \xymatrix{
\bullet\ar@{-->}[dr]\ar@/^1em/[drr]\ar@/_1em/[ddr] \\
& Y\ar@{>->}[r]^f\ar[d] & X\ar[d]^{\chi_f} \\
& \mathbf{1}\ar[r]_t & \Omega
} \]
\end{definition}

Если классификатор подобъектов существует, то он единственный с точностью до единственного изоморфизма. Классификатор подобъектов связан с функтором подобъектов $\Sub$ следующим каноническим изоморфизмом:

\[ \Sub (X) \isom \Hom_\categ{C} (X,\Omega). \]

\noindent (\TBW: это нужно обдумать: всё таки $\Hom$ действует в $\categ{Set}$, а образует ли множество $\Sub (X)$?)

\vspace{2em}

Всё сказанное выше даёт нам понятие топоса.

\begin{definition}
Категория $\categ{C}$ называется (\term{элементарным}) \term{топосом}, если

\begin{enumerate}
\item В $\categ{C}$ существуют конечные пределы и копределы.

\item В $\categ{C}$ существует экспоненцирование.

\item В $\categ{C}$ существует классификатор подобъектов.
\end{enumerate}
\end{definition}

Так как всё наше построение моделирует свойства категории $\categ{Set}$, то тривиальные примеры топосов~--- $\categ{Set}$ и $\categ{FinSet}$ (категория конечных множеств). Далее мы рассмотрим менее тривиальные примеры.

\subsection{Структура топоса на $\categ{Set}\times\categ{Set}$}

Рассмотрим произведение категорий $\categ{Set}\times\categ{Set}$. В такой категории объекты~--- это пары $\left<A,B\right>$, а стрелки~--- пары $\left<A\xrightarrow{f}B, C\xrightarrow{g}D\right>$.

\begin{itemize}
\item Универсальный притягивающий объект~--- это $\left<\mathbf{1}, \mathbf{1}\right> = \left<\{\mathbf{0}\}, \{\mathbf{0}\}\right>$, универсальный отталкивающий объект~--- $\left<\mathbf{0}, \mathbf{0}\right> = \left<\emptyset,\emptyset\right>$.

\item Классификатор подобъектов есть $\{\mathbf{0}, \mathbf{1}\}\times \{\mathbf{0}, \mathbf{1}\}$.

\item Экспоненцирование тоже получается очевидным образом: $\left<C,D\right>^{\left<A,B\right>} \dfn \left<C^A, D^B\right>$.
\end{itemize}

Понятно, что в этом примере никак не используется специфика $\categ{Set}$, и верно более общее

\begin{proposition}
Если $\categ{C}_1$ и $\categ{C}_2$~--- топосы, то $\categ{C}_1\times\categ{C}_2$~--- тоже топос.
\end{proposition}

\subsection{Структура топоса на $\categ{Map}$}

Рассмотрим теперь \term{категорию отображений} $\categ{Map}$, имеющую в качестве объектов стрелки $A \xrightarrow{f} B$, а в качестве морфизмов~--- пары стрелок, делающих соответствующую диаграмму коммутативной:

\[ \xymatrix{
A\ar[r]^f\ar[d]_h & B\ar[d]^k \\
C\ar[r]_g & D
} \]

В этой категории существуют пределы и копределы.

Универсальный притягивающий объект~--- $\{\emptyset\}\to\{\emptyset\}$.
Универсальный отталкивающий объект~--- $\emptyset\to\emptyset$.

Подобъектами в категории служат \term{подфункции}. $C\xrightarrow{g} D$ называется подфункцией $A\xrightarrow{f} B$ (обозначение $g \subseteq f$), если

\begin{enumerate}
\item $C\subseteq A$.

\item $D\subseteq B$.

\item $g(x) = x$ для всех $x\in C$ (т.е. $\left.f\right|_C = g$).
\end{enumerate}

Для элемента $x \in A$ возникает три варианта:

\[ \psi (x) \dfn \left\{\begin{array}{cl}1, & x \in C\text{ (и тогда обязательно }g(x) \in D\text{)};\\
\frac{1}{2}, & x \notin C\text{ и }g(x) \in D; \\
0, & x \notin C\text{ и }g(x) \notin D.
\end{array}\right. \]

\begin{center}
\includegraphics{map-classifier.mps}
\end{center}

Это задает классификатор подобъектов $\Omega\colon \{ 0, \frac{1}{2}, 1 \} \to \{ 0, 1 \}$.

(Разобрать подробности и экспоненцирование остается в качестве упражнения; см. Голдблатт, \S 4.4, пример 5.)

\vspace{2em}

Пример с $\categ{Set}\times\categ{Set}$ и $\categ{Map}$ на самом деле является частным случаем более общего факта:

\begin{theorem}
Если $\categ{C}$~--- малая категория, то категория $\Funct (\categ{C}, \categ{Set})$ является топосом.
\end{theorem}

\begin{exercise}
Разобрать, как на $\Funct (\categ{C}, \categ{Set})$ возникает структура топоса, если категория $\categ{C}$ имеет такой вид:

\[ 1) \xymatrix{
\bullet\ar@<-0.25em>[r]\ar@<+0.25em>[r] & \bullet
} \quad
2) \xymatrix{
\bullet\ar[dr] & & \bullet\ar[dl]\\
 & \bullet
} \quad
3) \xymatrix{
 & \bullet \\
\bullet\ar[ur] & & \bullet\ar[ul]
} \quad
4) \xymatrix{
\bullet \ar[r] & \bullet \ar[r] & \bullet
} \]
\end{exercise}

\subsection{Структура топоса на $G\text{-}\categ{Set}$ и $M\text{-}\categ{Set}$}

Пусть $M$~--- моноид, и задано его действие $M\times X \xrightarrow{act} X$ слева на множестве $X$. Тогда мы говорим, что $X$~--- \term{левое $M$-множество}, и пишем <<$M \curvearrowright X$>>.

\term{Действие} означает, что выполняются следующие аксиомы:

\begin{enumerate}
\item $(h\,g)\cdot x = h\cdot (g\cdot x)$ для всех $h,g \in M$, $x\in X$.

\[ \xymatrix{
M\times M\times X \ar[r]^{1_M\times act}\ar[d]_{mult\times 1_X} & M\times X\ar[d]^{act} \\
M\times X \ar[r]_{act} & X
} \]

\item $1\cdot x = x$ для всех $x\in X$.

\[ \xymatrix{
\{ \bullet \}\times X\ar[rr]^{\pr_X}\ar[dr]_{1\times 1_X} & & X \\
 & M\times X\ar[ur]_{act}
} \]
\end{enumerate}

Множества с действием моноида $M$ образуют категорию $M\text{-}\categ{Set}$. Морфизмами в нем являются \term{эквивариантные отображения}, т.е. такие отображения $X\xrightarrow{\phi} Y$, при которых следующая диаграмма коммутативна:

\[ \xymatrix{
M\times X\ar[r]^{act_X}\ar[d]_{1_M\times \phi} & X\ar[d]^\phi \\
M\times Y\ar[r]_{act_Y} & Y
} \]

\[ \phi (g\cdot x) = g\cdot \phi(x) \quad \text{для всех }g\in M, x\in X. \]

Частным случаем является категория $G\text{-}\categ{Set}$ множеств с действием \emph{группы} $G$ (вспомним, что мы уже встречались с чуть более сложной категорией $\categ{Top}\text{-}G\text{-}\categ{Set}$ в примере с теорией Галуа).

\begin{proposition}
$M\text{-}\categ{Set}$ является топосом.
\end{proposition}

Это следует из того, что $M\text{-}\categ{Set}$ изоморфна категории $\Funct (M,\categ{Set})$, где моноид $M$ рассматривается как категория с одним объектом $M$.

\begin{itemize}
\item Функтор $\Phi\colon \Funct (M,\categ{Set}) \to M\text{-}\categ{Set}$ строится таким образом: объекту $(F\colon M\to\categ{Set}) \in \Ob (\Funct (M,\categ{Set}))$ сопоставим $F (M) \in \Ob (M\text{-}\categ{Set})$ с действием $m\cdot x \dfn F(m) \cdot x$. Естественному преобразованию $\tau\colon F\Rightarrow G$ функторов $F, G\colon M \to \categ{Set}$ сопоставим отображение $F(M) \xrightarrow{\tau_M} G(M)$. Оно эквивариантное по определению естественного преобразования:

\[ \xymatrix{
F(M)\ar[r]^{\tau_M}\ar[d]_{F(f)} & G(M)\ar[d]^{G(f)} \\
F(M)\ar[r]_{\tau_M} & G(M)
} \]

\item Функтор $\Psi\colon M\text{-}\categ{Set} \to \Funct (M,\categ{Set})$ такой. Для $M$-множества $X$ определим $\Psi(X) \in \Ob (\Funct (M,\categ{Set}))$

\begin{eqnarray*}
M & \rightsquigarrow & X,\\
(M\xrightarrow{m} M) & \rightsquigarrow & (x \mapsto m\cdot x).
\end{eqnarray*}

Для эквивариантного отображения $X\xrightarrow{f} Y$ определим естественное преобразование $\Psi (f)\colon \Psi(X)\Rightarrow \Psi(Y)$:

\[ \xymatrix{
\Psi (X) (M)\ar[r]^f\ar[d]_{\Psi(X) (m)} & \Psi(Y) (M)\ar[d]^{\Psi (X) (m)} \\
\Psi (X) (M)\ar[r]_f & \Psi(Y) (M) \\
} \]
\end{itemize}

Остается проверить, что $\Phi\,\Psi = \bu$ и $\Psi\,\Phi = \bu$.

Таким образом, мы построили изоморфизм между $M\text{-}\categ{Set}$ и $\Funct (M,\categ{Set})$, где $M$~--- малая категория. Значит $M\text{-}\categ{Set}$~--- топос.

Теперь было бы полезно понять, какова структура этого топоса.

\vspace{1em}

В силу изоморфизма $M\text{-}\categ{Set} \isom \Funct (M,\categ{Set})$, конечные пределы и копределы вычисляются <<поточечно>>.

\begin{itemize}
\item Универсальный отталкивающий объект $\mathbf{0}$ есть множество $\emptyset$ с пустым действием моноида.

\item Универсальный притягивающий объект $\mathbf{1}$ есть множество $\{ \bullet \}$ с очевидным действием моноида.

\item Произведение $A\times B$ двух $M$-множеств есть декартово произведение $A\times B$, снабженное действием $m\cdot (a,b) \dfn (m\cdot a, m\cdot b)$.

\item Копроизведение $A \sqcup B$ двух $M$-множеств есть несвязное объединение $A\sqcup B \dfn (A\times \{1\}) \cup (A\times \{2\})$, снабженное действием $m\cdot (a,1) \dfn (m\cdot a, 1)$, $m\cdot (b,2) \dfn (m\cdot b, 2)$.
\end{itemize}

Опять же, благодаря изоморфизму $M\text{-}\categ{Set} \isom \Funct (M,\categ{Set})$, получаем, что

\begin{itemize}
\item Стрелка в $M\text{-}\categ{Set}$ является мономорфизмом iff она является мономорфизмом в $\categ{Set}$.
\item Стрелка в $M\text{-}\categ{Set}$ является эпиморфизмом iff она является эпиморфизмом в $\categ{Set}$.
\end{itemize}

Подмножество $S \subseteq M$, замкнутое по умножению слева на элементы $M$ (т.е. $\forall m\in M \forall s\in S ~ m\cdot s \in S$), называется \term{левым идеалом}. В частности, $\emptyset$ и $M$~--- это наименьший и наибольший идеал в $M$. (Кроме того, моноид является группой iff $L_M = \{ \emptyset, M \}$.)

\vspace{1em}

Классификатор подобъектов в категории $\Funct (M,\categ{Set})$ есть $\Omega \dfn L_M$, множество левых идеалов в $M$, и для каждого элемента моноида $M \xrightarrow{m} M$

\[ \Omega (m) \, S \dfn \{ x\in M \mid x\,m \in S \} \quad \text{для } S \in L_M. \]

Отображение $\mathbf{1} \xrightarrow{t} \Omega$ переводит $\bullet$ в $M \in L_M$.

\vspace{1em}

Классификатор подобъектов в категории $M\text{-}\categ{Set}$ есть множество $\Omega \dfn L_M$, снабженное действием

\[ m\cdot S \dfn \{ x\in M \mid x\cdot m\in S \}. \]

\subsection{Структура топоса на $\categ{Set}_X$}

Фиксируем объект $X \in \Ob (\categ{Set})$. Рассмотрим категорию $\categ{Set}_X$, в которой объектами являются отображения $Y \xrightarrow{f} X$ (\term{расслоения с базой $X$}), а морфизмами~--- отображения $Y \xrightarrow{h} Z$ между разными пространствами расслоения, делающие следующую диаграмму коммутативной:

\[ \xymatrix{
Y\ar[rr]^h\ar[dr]_f & & Z\ar[dl]^g \\
 & X
} \]

Конечно, такую категорию $\categ{C}_X$ можно ввести для произвольной категории $\categ{C}$ и объекта $X\in\Ob(\categ{C})$. Имеет место важный факт:

\begin{theorem}[P.J. Freyd]
Если $\categ{C}$~--- топос, то $\categ{C}_X$~--- тоже топос.
\end{theorem}

Можно разобраться, что происходит в простейшем примере $\categ{Set}_X$. Классификатором подобъектов служит тривиальное расслоение со слоем $\{0,1\}$, то есть $X\times \{0,1\} \xrightarrow{\pr_X} X$. Экспоненцирование $(Y\xrightarrow{f} X)^{(Z\xrightarrow{g} X)}$ устроено так:

\[ \xymatrix{
\coprod\limits_{x\in X} Y_x^{Z_x}\ar[d]\\
X
} \]

Здесь $Y_x \dfn f^{-1} (x)$~--- \term{слой} над $x$. (См. Голдблатт, \S 4.5.)

\section{Пучки}

\subsection{Категория $\categ{Sh} (X)$}

Пучок~--- это важнейшее понятие математики. Например, многообразие (топологическое, гладкое, аналитическое, алгебраическое, и т. п.)~--- это пространство с пучком функций на нем.

\vspace{2em}

Пусть $X$~--- фиксированное топологическое пространство. С ним можно связать категорию $\categ{Open} (X)$, в которой объектами являются открытые подмножества $U \subseteq X$, а морфизмами~--- включения $i\colon U \hookrightarrow V$. То есть,

\[ \Hom_{\categ{Open} (X)} \dfn \left\{\begin{array}{ll}
\{i\}, & U \subseteq V,\\
\emptyset, & U \not\subseteq V.
\end{array}\right. \]

\begin{definition}
\term{Предпучком} на топологическом пространстве $X$ называется контравариантный функтор $\mathcal{F}\colon \categ{Open} (X)^* \to \categ{C}$.
\end{definition}

В конкретных примерах на месте $\categ{C}$ стоит категория множеств, групп, абелевых групп, колец, $R$-модулей, и т. п. Дальше можно про всё думать, представляя себе конкретные категории.

Если переписать определение предпучка более многословно, то получается сопоставление

\begin{eqnarray*}
U & \rightsquigarrow & \mathcal{F}(U),\\
V\subseteq U & \rightsquigarrow & \mathcal{F}(U) \xrightarrow{\rho_{UV}} \mathcal{F}(V).
\end{eqnarray*}

Элемент $s \in \mathcal{F} (U)$ называется \term{сечением} предпучка $\mathcal{F}$ над открытым множеством $U$; элемент $s \in \mathcal{F} (X)$ называется \term{глобальным сечением}. Отображение $\mathcal{F}(U) \xrightarrow{\rho_{UV}} \mathcal{F}(V)$ называется \term{ограничением}. Вместо $\rho_{UV} (s)$ часто пишут $\left.s\right|_V$.

Функториальность означает, что выполняются условия

\begin{enumerate}
\item $\rho_{UU} = 1_{\mathcal{F} (U)}$.

\item Если $W \subseteq V \subseteq U$, то $\rho_{UW} = \rho_{UV} \circ \rho_{VW}$.
\end{enumerate}

Было бы хорошо, если бы ограничения согласовывались. А именно, пусть имеется сечение $s\in \mathcal{F} (U)$ и сечение $t\in \mathcal{F} (V)$, такие что $\left.s\right|_{U\cap V} = \left.t\right|_{U\cap V}$. Тогда хотелось бы сказать, что существует единственное сечение $r\in \mathcal{F} (U\cup V)$, такое что $\left.r\right|_U = s$ и $\left.r\right|_V = t$. Увы, из определения предпучка ничего такого не следует~--- $r$ может не существовать или не быть единственным.

Самый простой пример: фиксируем $A \in \Ob (\categ{C})$ и зададим \term{постоянный предпучок} $\mathcal{F}$, такой что $\mathcal{F} (U) \dfn A$ для всех $U \subseteq X$, $U \ne \emptyset$, и $\mathcal{F} (\emptyset) \dfn \{ \bullet \}$. Пусть теперь $U \cap V = \emptyset$. Тогда для $s\in \mathcal{F}(U) = A$ и $t\in \mathcal{F}(V) = A$, таких что $s \ne t$ имеем $\left.s\right|_\emptyset = \left.t\right|_\emptyset$, но $s$ и $t$ не получаются как ограничения какого-то сечения $r$ над $U \cup V$.

\begin{definition}
\term{Пучком} называется предпучок, для которого выполняется \term{аксиома пучка}:\\
для всякого открытого покрытия $U_i$ всякого открытого множества $U \subseteq X$ и любых согласованных сечений $s_i \in \mathcal{F} (U_i)$ (т.е. $\left.s_i\right|_{U_i\cap U_j} = \left.s_j\right|_{U_i\cap U_j}$) существует единственное сечение $s \in \mathcal{F}(U)$, такое что $\left.s\right|_{U_i} = s_i$.
\end{definition}

Наше обсуждение определения предпучка, а также определение пучка, ссылаются на элементы $s\in\mathcal{F} (U)$, то есть подразумевают, что $\categ{C}$~--- конкретная категория. Этого можно избежать, сформулировав \term{аксиому пучка в форме Гротендика}. Пусть в $\categ{C}$ существуют произведения. Мы требуем, чтобы возникали отображения

\[ \xymatrix{\mathcal{F} (U)\ar[r]^e & \prod\limits_i \mathcal{F} (U_i)\ar@<+0.3em>[r]^{d_1} \ar@<-0.3em>[r]_{d_2} & \prod\limits_{i,j} \mathcal{F} (U_i\cap U_j)} \]

\noindent так что $e$ является уравнителем $d_1$ и $d_2$, то есть $e\,d_1 = e\,d_2$.

Здесь

\begin{itemize}
\item $e$~--- произведение отображений ограничения $\mathcal{F} (U) \to \mathcal{F} (U_i)$,

\item $d_1$~--- произведение отображений ограничения $\mathcal{F} (U_j) \to \mathcal{F} (U_i\cap U_j)$,

\item $d_1$~--- произведение отображений ограничения $\mathcal{F} (U_i) \to \mathcal{F} (U_i\cap U_j)$.
\end{itemize}

В качестве упражнения остается доказательство того, что для конкретной категории это совпадает с нашей аксиомой пучка.

\vspace{2em}

Пучки на топологическом пространстве $X$ образуют категорию $\categ{Sh} (X)$. Как можно догадаться, морфизм двух пучков $\mathcal{F} \xrightarrow{f} \mathcal{G}$~--- это естественное преобразование $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ как контравариантных функторов $\categ{Open} (X)^* \to \categ{C}$. То есть, для всех $V \subseteq U$ возникает коммутативная диаграмма

\[ \xymatrix{
\mathcal{F} (V)\ar[r]^{f_V} & \mathcal{G} (V) \\
\mathcal{F} (U)\ar[r]_{f_U}\ar[u] & \mathcal{G} (U)\ar[u] \\
} \]

Здесь возникает чрезвычайно важный вопрос: что должна означать инъективность / сюръективность морфизма пучков? Это мы обсудим далее. Кроме того, далее мы покажем, что пучки множеств на топологическом пространстве образуют топос (чтобы понять, как в таком топосе выглядит экспонента и классификатор подобъектов, необходимо обсудить еще несколько вопросов).

\subsection{Пучок сечений расслоения}

Выше мы уже приводили категорию расслоений $\categ{Set}_X$ как пример топоса, но сейчас мы немного уточним, что такое расслоение. Под \term{расслоением} мы будем понимать \emph{непрерывное} отображение $Y \xrightarrow{\pi} X$ \emph{топологических пространств} $Y$ и $X$.

\term{Сечением} расслоения $\pi$ над $U \subseteq X$ называется \emph{непрерывное} отображение $U \xrightarrow{s} Y$, такое что $s\,\pi = 1_U$.

Если $\mathcal{F} (U)$~--- множество сечений расслоения $\pi$ над $U$, то $\mathcal{F}$ является пучком на $X$.

Обратно, по каждому пучку множеств $\mathcal{F}$ на $X$ можно построить \term{этальное пространство} (\term{накрывающее пространство}, \emph{espace étalé}) $\Spe (X)$ и локальный гомеоморфизм $\Spe(X) \xrightarrow{\pi} X$, так что $\mathcal{F}$ будет пучком сечений $\pi$.

В этом смысле пучок сечений расслоения~--- вообще единственный пример пучка. Правда, есть проблема с тем, что пучки в геометрии обычно возникают естественным образом, а этальное пространство~--- как правило нечто странное.

\subsection{Пучок ростков непрерывных функций}

\begin{itemize}
\item Если $X$~--- топологическое пространство, то определим \term{структурный пучок} $\mathcal{O}_X (U) \dfn C_{\mathbb{R}} (U)$, где $C_{\mathbb{R}} (U)$~--- непрерывные функции $U \to \mathbb{R}$. Это пучок.

Если $X$~--- хорошее пространство (хаусдорфово, локально компактное, и т. п.), то $X$ восстанавливается по $\mathcal{O}_X$.

\item Если $X$~--- гладкое многообразие класса $k$, то $\mathcal{O}_X (U) \dfn C^k (U)$ также определяет пучок, по которому восстанавливается $X$.

\item Аналогично задаются аналитические многообразия, и т. п.
\end{itemize}

Пусть $\mathcal{F}$~--- пучок над пространством $X$. Фиксируем точку $x\in X$. \term{Слоем} (\emph{stalk}) называется предел

\[ \mathcal{F}_x \dfn \varinjlim_{U \ni x, U \subseteq X} \mathcal{F} (U). \]

Элементы $\mathcal{F}_x$ называются \term{ростками локальных сечений} пучка $\mathcal{F}$ в точке $x$.

\vspace{2em}

Это можно сформулировать иначе. Множество локальных сечений пучка $\mathcal{F}$ есть

\[ \mathcal{X}_x \dfn \{ (s,U) \mid U \ni x, U \subseteq X, ~ s \in \mathcal{F} (U) \}. \]

Введем на $\mathcal{X}_x$ отношение эквивалентности

\[ (s,U) \sim (t, V) \iff \exists W \ni x, W \subseteq U\cap V ~~ \left.s\right|_W = \left.t\right|_V. \]

Классы эквивалентности и есть ростки локальных сечений в точке $x$, т.е. $\mathcal{F}_x = \mathcal{X}_x/\!\sim$.

Пример таких ростков~--- аналитические функции локально представляются рядом Тейлора. (Правда, этот пример тавтологичен и является определением аналитической функции.)

\vspace{2em}

Можно не фиксировать точку $x$ и рассматривать вообще все непустые открытые подмножества $U\subseteq X$. Это будет давать нетривиальные глобальные ростки, только если пространство $X$ не хаусдорфово (скажем, как в алгебраической ситуации).

\vspace{2em}\hrule\vspace{2em}

\noindent\emph{6 марта 2012 г.}

\subsection{Мономорфизмы и эпиморфизмы в категории пучков}

Пусть $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$~--- это пучки множеств на пространстве $X$. Тогда морфизм $\mathcal{F}\xrightarrow{\phi}\mathcal{G}$ является мономорфизмом iff $\mathcal{F}(U)\xhookrightarrow{\phi_U}\mathcal{G}(U)$~--- инъекция для любого $U\subseteq X$.

Однако эпиморфизм охарактеризовать таким же образом нельзя. А именно, правильно требовать сюръективности не для всех $U\subseteq X$, а послойно.

\begin{proposition}
$\mathcal{F}\xrightarrow{\phi}\mathcal{G}$~--- это эпиморфизм в категории пучков iff $\mathcal{F}_x \xrightarrow{\phi_x} \mathcal{G}_x$~--- сюръекция для всех $x\in X$.

%%% \begin{proof}
%%% \textcircled{$\Rightarrow$} Если $\mathcal{F}\xrightarrow{\phi}\mathcal{G}$~--- эпиморфизм
%%%
%%% \textcircled{$\Leftarrow$} $\phi \dfn \phi (U)$.
%%%
%%% $\phi (s) = \phi(t)$ для $s, t \in \mathcal{F} (U)$, тогда $s = t$.
%%%
%%% По предположению $\forall x\in U \quad s_x = t_x$.
%%%
%%% Для всякого $x\in U$ найдется $V_x$~--- открытое покрытие $X$, сод. в $U$.
%%%
%%% По аксиоме пучка $\left.s\right|_{V_x} = \left.t\right|_{V_x} \Rightarrow s = t$.
%%%
%%% $t \in \mathcal{G} (U)$. По сюръективности $\phi_x$, для всякого $x\in U$ существует росток $s_x \in \mathcal{F}_x$, такой что $\phi_x (s_x) = t_x$.
%%%
%%% Существует окретность $V_x$ точки $x$ в $U$, такая что найдется $s (x) \in \mathcal{F} (V_x)$, где $s (X)_x = s_x$ и $\phi (s(x)) = \left.t\right|_{V_x}$.
%%%
%%% $y \in v_x$.
%%%
%%% $\phi_{v_x \cap v_y} (s (x)) = \left.t\right|_{v_x \cap v_y} = \phi_{v_x \cap v_y (s(y))} \Rightarrow \left.s(x)\right|_{v_x \cap v_y} = \left.s(y)\right|_{v_x \cap v_y}$.
%%%
%%% По аксиоме пучка, найдется единственный $s\in \mathcal{F} (U)$, такой что $\phi (s) = t$.
%%% \end{proof}
\end{proposition}

Переведем это на язык сечений. Это эквивалентно тому, что для всякого $U\subseteq X$ и всякого $t\in \mathcal{G}(U)$ найдется открытое покрытие $\{ U_i \}$ множества $U$, и также $s_i \in \mathcal{F} (U_i)$, такие что $\phi_{U_i} (s_i) = \left.t\right|_{U_i}$. При этом \emph{не верно}, что обязательно существует сечение $s \in \mathcal{F} (U)$, такое что $\phi_U (s) = t$.

\vspace{2em}

Универсальный принцип: \emph{эпиморфизмы~--- это не сюръекции на точках}. Для тех, кто знаком с правильным определением алгебраической группы, можно привести такой пример. Существует короткая точная последовательность алгебраических групп

\[ 1 \to \mathbb{G}_m \to \GL_n \to \PGL_n \to 1. \]

Но \emph{не} верно, что для конкретного кольца $R$ существует точная последовательность

\[ 1 \to R^\times \to \GL_n (R) \to \PGL_n (R) \to 1. \]

К сожалению, не все это понимают, и где-то можно встретить \emph{ошибочное} определение $\PGL (n,R) \dfn \GL (n,R) / R^\times$ для колец.

На точках возникает точная последовательность

\[ 1 \to R^\times \to \GL_n (R) \to \PGL_n (R) \to H^1 (R, \mathbb{G}_m) \to \cdots \]

Здесь $H^1 (R, \mathbb{G}_m)$~--- \term{когомологии Галуа} (см. Jean-Pierre Serre, \emph{Cohomologie galoisienne}). Это можно понимать как препятствие к сюръективности.

Аналогично, существует последовательность алгебраических групп

\[ 1 \to \mu_n \to \SL_n \to \PGL_n \to 1, \]

\noindent но на точках это не должно быть точной последовательностью (хотя над алгебраически замкнутым полем это верно).

\subsection{Построение ассоциированного пучка по предпучку (sheafification)}

Пусть $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$~--- пучки групп на пространстве $X$, и $\mathcal{F} \xrightarrow{\phi} \mathcal{G}$~--- их морфизм. Как определить ядро и образ морфизма? Самое простое определение, приходящее на ум:

\[ \ker (\phi) (U) \dfn \ker (\phi_U) \quad \text{для } U\subseteq X. \]

Это действительно задает пучок, и такое определение ядра верное.

Для образа хотелось бы задать $\im (\phi) (U) \dfn \im (\phi_U)$, но это \emph{пред}пучок, а не пучок. Это типичная ситуация: естественная конструкция выводит нас за пределы категории пучков, и для результата необходимо взять \term{ассоциированный пучок}, или, как говорят, \term{шифифицировать} (\term{sheafify}) получившийся предпучок.

\begin{definition}
Если $\mathcal{F}$~--- предпучок на $X$, то соответствующим \term{ассоциированным пучком} называется пучок $\mathcal{F}^+$ на $X$ вместе с морфизмом предпучков $\mathcal{F} \xrightarrow{\theta} \mathcal{F}^+$, универсальным в следующем смысле:

\[ \xymatrix{
\mathcal{F}\ar[rr]^\theta\ar[dr]_\phi & & \mathcal{F}^+\ar@{-->}[dl]^{\exists!} \\
 & \mathcal{G}
} \]
\end{definition}

\begin{proposition}
$\mathcal{F}^+$ вместе с морфизмом $\theta$ существует для любого предпучка $\mathcal{F}$ и единственен с точностью до единственного изоморфизма, согласованного с $\theta$.

\begin{proof}
Для $U \subseteq X$ зададим

\[ \mathcal{F}^+ (U) \dfn \{ U \xrightarrow{s} \coprod_{x\in U} \mathcal{F}_x \mid \text{выполняются свойства 1) и 2)} \} \]

\begin{enumerate}
\item[1)] $s(x) \in \mathcal{F}_x$ для всех $x \in U$.

\item[2)] Существует покрытие $\{ U_i \}$ для $U$ и сечение $s_i \in \mathcal{F} (U_i)$, такое что $(s_i)_x = s(x)$ для всех $x\in U_i$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{proposition}

Остается в качестве упражнения проверить, что определенный только что $\mathcal{F}^+$~--- это пучок, задать морфизм $\mathcal{F} \xrightarrow{\theta} \mathcal{F}^+$ и показать универсальность.

Послойно шифификация совпадает с исходными слоями предпучка: для всех $x\in X$ выполняется $(\mathcal{F}^+)_x = \mathcal{F}_x$.

Если $\mathcal{F}$~--- пучок, тогда шифификация дает его же: $\mathcal{F}^+ = \mathcal{F}$.

\vspace{2em}

Еще один пример, когда для правильного определения требуется шифификация.

Пусть $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$~--- пучки абелевых групп. Тогда можно определить подпучок

\[ \mathcal{F} \le \mathcal{G} \iff \mathcal{F} (U) \le \mathcal{G} (U). \]

Это правильное определение. Однако определять факторпучок в виде $(\mathcal{G}/\mathcal{F}) (U) = \mathcal{G} (U) / \mathcal{F} (U)$ \emph{неправильно}. Из обсуждения выше должно быть понятно, что правильное определение должно формулироваться послойно:

\[ (\mathcal{G}/\mathcal{F})_x = \mathcal{G}_x / \mathcal{F}_x. \]

\subsection{Этальное пространство}

Конструкция \term{этального пространства} (\term{накрывающего пространства}, \emph{espace étalé}) была введена в 40-е годы Жаном Лере.

Если $\mathcal{F}$~--- предпучок на $X$, то за $\Spe (\mathcal{F})$ или $\Et (\mathcal{F})$ обозначается пространство, которое как множество есть

\[ \Spe (\mathcal{F}) \dfn \coprod_{x\in X} \mathcal{F}_x. \]

Имеем расслоение множеств

\[ \xymatrix{
\mathcal{F}_x\ar[d] & \Spe (\mathcal{F})\ar[d] \\
X & X
} \]

На $\Spe (\mathcal{F})$ вводится самая слабая топология, такая что для всякого $U \subseteq X$ и $s \in \mathcal{F} (U)$ отображение

\begin{eqnarray*}
U & \xrightarrow{\widetilde{s}} & \Spe (\mathcal{F}),\\
x & \mapsto & s_x
\end{eqnarray*}

\noindent непрерывно. (\TBW: хорошо бы еще на каких-то естественных примерах понять, что там получается за топология, но это всё сложно.)

Проекция $\Spe (\mathcal{F}) \to X$ непрерывна.

\begin{proposition}
$\Spe (\mathcal{F}) \to X$ является накрытием (локальным гомеоморфизмом) и его непрерывные сечения образуют пучок $\mathcal{F}^+$.
\end{proposition}

Если $\mathcal{F}$~--- пучок, то получается соответствие $\mathcal{F} \simeq \mathcal{F}^+$ (эквивалентность категорий).

\subsection{Прямой и обратный образ пучка}

Пусть $X \xrightarrow{f} Y$~--- непрерывное отображение топологических пространств. Как по пучку на $X$ построить пучок на $Y$ и наоборот?

Если $\mathcal{F}$~--- пучок на $X$, то отображение $X \xrightarrow{f} Y$ задает функтор $f_*$ на категории пучков. \term{Прямым образом} называется пучок $(f_* \mathcal{F})$ на $Y$, определяемый как

\[ (f_* \mathcal{F}) (U) \dfn \mathcal{F} (f^{-1} (U)) \quad \text{для } U \subseteq Y. \]

Если $\mathcal{G}$~--- пучок на $Y$, то \term{обратным образом} называется пучок $(f^* \mathcal{G})$ на $X$. Его уже не так просто определить. Можно сделать так:

\[ (f^{-1} \mathcal{G}) (V) \dfn \varinjlim_{f(V) \subseteq U \subseteq Y} G (U) \quad \text{для } V \subseteq X. \]

$(f^{-1} \mathcal{G})$~--- это предпучок. Можно взять $(f^* \mathcal{G}) \dfn (f^{-1} \mathcal{G})^+$. Это \emph{возможный кандидат} на обратный образ.

\begin{exercise}
\[ \Hom_{\categ{Sh} (X)} (f^* \mathcal{G}, \mathcal{F}) \simeq \Hom_{\categ{Sh} (Y)} (\mathcal{G}, f_* \mathcal{F}). \]

$(f^* \mathcal{G})_x = \mathcal{G}_{f(x)}$.
\end{exercise}

\subsection{Пучок множеств как топос}

Теперь у нас имеется достаточно конструкций, чтобы показать, что категория $\categ{Sh} (X)$ пучков множеств на $X$ является топосом.

\begin{itemize}
\item Для предпучков существуют конечные пределы и копределы. Для пучков они являются пучками.

\item Если $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$~--- пучки на $X$, то $\Hom_{\categ{Sh} (X)} (\mathcal{F},\mathcal{G})$ не является пучком, но соответствующий пучок определяется следующим естественным образом. Для $U \xrightarrow{i} X$ зададим ограничение пучка

\[ \left.\mathcal{F}\right|_U \dfn i^* (\mathcal{F}). \]

Теперь пусть

\[ \mathcal{H}\mathpzc{om} (\mathcal{F},\mathcal{G})\colon U \rightsquigarrow \Hom_{\categ{Sh} (U)} (\left.\mathcal{F}\right|_U, \left.\mathcal{G}\right|_U). \]

Это действительно пучок, и в категории $\categ{Sh} (X)$ он обладает свойством экспоненты.

\item Классификатором подобъектов служит пучок открытых множеств

\[ \Omega (U) \dfn \{ V \mathop{\subseteq}\limits_{\text{\tiny{откр.}}} U \}. \]
\end{itemize}

\vspace{2em}\hrule\vspace{2em}

\noindent\emph{13 марта 2012 г.}

\section{Топологии Гротендика}

\subsection{Решёта}

\begin{theorem}
Пусть $\categ{C}$~--- малая категория. Тогда категория $\categ{PreSh} (\categ{C})$ предпучков множеств на $\categ{C}$ образует топос.
\end{theorem}

\noindent(После продолжительного обсуждения предпучков на топологическом пространстве напомним, что для произвольной категории $\categ{C}$ категория предпучков множеств~--- это категория функторов $\categ{C}^* \to \categ{Set}$.)

Самое интересное в структуре топоса $\categ{PreSh} (\categ{C})$~--- классификатор подобъектов. Мы хотим описать подфункторы представимого функтора

\[ \Hom_\categ{C} (-,X) \colon Y \rightsquigarrow \Hom_\categ{C} (Y,X). \]

\vspace{2em}

Для топологических пространств \term{решетом} на $X$ называется набор открытых подмножеств $S \subseteq \categ{Open} (X)$, такой что $U \in S, V \subseteq U \Rightarrow V\in S$. Это можно аксиоматизировать и переформулировать не в терминах открытых подмножеств, а в терминах стрелок в произвольной категории $\categ{C}$.

\term{Решетом} (англ. \emph{sieve}, фр. \emph{crible}) на $X$ называется множество $S$ морфизмов $Y \xrightarrow{f} X$, таких что для всякого морфизма $Z \xrightarrow{g} Y$

\[ (Z \xrightarrow{g} Y \xrightarrow{f} X) \in S. \]

Примеры решет:

\begin{itemize}
\item Если $\categ{C}$~--- моноид, то решето~--- это левый идеал.

\item Если $\categ{C}$~--- частично упорядоченное множество, то решето~--- это порядковый идеал.

\item Для всякого $X$ имеем \term{максимальное решето}

\[ t(X) \dfn \{ Y \xrightarrow{f} X \}. \]
\end{itemize}

\begin{proposition}
Задание решета $S$ на $X$ соответствует заданию подфунктора в $\Hom_\categ{C} (-,X)$.

\begin{proof}
\noindent\textcircled{$\Rightarrow$} Пусть $F \subseteq \Hom (-,X)$. Тогда можно определить решето

\[ S \dfn \{ Y \xrightarrow{f} X \mid f \in F(Y) \}. \]

\noindent\textcircled{$\Leftarrow$} Пусть $S$~--- решето на $X$. Тогда можно определить подфунктор $F \subseteq \Hom (-,X)$:

\[ F\colon Y \rightsquigarrow \{ Y \xrightarrow{f} X \mid f\in S \}. \]
\end{proof}
\end{proposition}

Пусть $S$~--- решето на $X$ и $Z \xrightarrow{h} X$~--- некоторый морфизм. Тогда можно определить решето на $Z$

\[ h^* (S) \dfn \{ Y \xrightarrow{g} Z \mid g\,h \in S \}. \]

Эта конструкция называется \term{заменой базы} или \term{pullback'ом $S$ вдоль $h$} (существования pullback'ов в категории $\categ{C}$ мы не подразумеваем).

Теперь мы опишем классификатор подобъектов в категории $\categ{PreSh} (\categ{C})$. Определим

\[ \Omega (X) \dfn \{ \text{решета на } X \text{ в категории } \categ{C} \}. \]

Пусть имеется морфизм $Z \xrightarrow{h} X$. Тогда определим

\begin{eqnarray*}
\Omega(X) & \xrightarrow{\Omega(h)} & \Omega(Z),\\
S & \mapsto & h^* (S).
\end{eqnarray*}

Это задает контравариантный функтор $\Omega$ на $X$, то есть предпучок.

\begin{eqnarray*}
\mathbf{1} & \xrightarrow{true} & \Omega (X),\\
\bullet & \mapsto & t (X).
\end{eqnarray*}

Пусть имеется контравариантный функтор $P\colon \categ{C}^* \to \categ{Set}$ и подфунктор $Q \subseteq P$. Для каждого элемента $x \in P(X)$ определим

\[ \phi_X (x) \dfn \{ Y \xrightarrow{f} X \mid P(f)_x \in Q(Y) \}. \]

Это решето на $X$. Имеем отображение $\phi_X \colon P(X) \to \Omega (X)$. Оно задает естественное преобразование функторов $\phi\colon P\Rightarrow \Omega$.

Возникает декартов квадрат

\[ \xymatrix{
Q\ar[r]\ar@{^(->}[d] & \mathbf{1}\ar[d]^{true} \\
P\ar[r]_\phi & \Omega
} \]

\subsection{Сайт Гротендика и топос Гротендика}

Пусть $\{ U_i \}_{i\in I}$~--- открытые множества, покрывающие пространство $X$. Мы хотим обобщить эту ситуацию, а именно, аксиоматизировать следующие свойства покрытия:

\begin{enumerate}
\item $\bigcup U_i = X$.

\item \term{Замена базы} (pullback): если $Y \subseteq X$, то $\{ U_i \cap Y \}$ образуют открытое покрытие $Y$.

\item \term{Аксиома транзитивности}: если $\bigcup_{j \in I_i} U_{ij} = U_i$ для каждого $i\in I$ и $\bigcup_{i\in I} U_i = X$, тогда $\bigcup_{\substack{i\in I,\\ j \in I_i}} = U_{ij}$.
\end{enumerate}

\term{Топология Гротендика} на малой категории $\categ{C}$ задается множеством \term{покрывающих решет} на каждом $X \in \Ob(\categ{C})$

\[ X \rightsquigarrow \mathcal{J} (X). \]

При этом выполняются аксиомы

\begin{enumerate}
\item[1.] $t(X) \in \mathcal{J} (X)$.

\item[2.] Если $S \in \mathcal{J} (X)$ и $Z \xrightarrow{h} X$, тогда $h^* (S) \in \mathcal{J} (S)$.

\item[3.] Пусть $S \in \mathcal{J} (X)$ и $R$~--- какое-то решето, так что для всякого $(Y \xrightarrow{f} X) \in S$ выполняется $f^* (R) \in \mathcal{J} (Y)$. Тогда $R \in \mathcal{J} (X)$.
\end{enumerate}

Пара $(\mathcal{C}, \mathcal{J})$ из малой категории и покрывающих решет называется \term{сайтом}. Категория $\categ{Sh} (\categ{C}, \mathcal{J})$ пучков на сайте $(\mathcal{C}, \mathcal{J})$ образует топос. Он называется \term{топосом Гротендика}.

Тривиальные примеры:

\begin{enumerate}
\item Тривиальная топология: $\mathcal{J} (X) \dfn \{ t(X) \}$.

\item Дискретная топология: $\mathcal{J} (X) \dfn \{ \text{все решета на } X \}$.
\end{enumerate}

Свойства, вытекающие из аксиом:

\begin{enumerate}
\item[$3^\prime$.] Пусть $S\in \mathcal{J}(X)$. Если для всех $(Y_f \xrightarrow{f} X) \in S$ задано решето $R_f \in \mathcal{J} (Y_f)$, то

\[ \{ g\,f \mid f\in S, g\in R_f \} \in \mathcal{J} (X). \]

(Если $S\in \mathcal{J}(X)$, то любое решето $R \supset S$ также лежит в $\mathcal{J} (X)$.)

\item[4.] \term{Аксиома пересечения}: если $R, S \in \mathcal{J} (X)$, то $R\cap S \in \mathcal{J} (X)$.
\end{enumerate}

Говорят, что решето на $X$ \term{покрывает} морфизм $Z \xrightarrow{h} X$, если $h^* (S) \in \mathcal{J} (Z)$.

В этих терминах аксиомы топологии Гротендика можно сформулировать так.

\begin{enumerate}
\item[1.] Если $S$~--- решето на $X$ и $f\in S$, то $S$ покрывает $f$.

\item[2.] Если $S$ покрывает $Z \xrightarrow{h} X$, то $S$ покрывает и композицию $W \xrightarrow{g} Z \xrightarrow{h} X$ с произвольным морфизмом $W \xrightarrow{g} Z$.

\item[3.] Если $S$ покрывает $Z \xrightarrow{h} X$ и $R$~--- решето на $X$, которое покрывает все $f \in S$, то $R$ покрывает $h$.
\end{enumerate}

\noindent (В качестве упражнения остается проверка того, что эти аксиомы эквивалентны тем, что приведены выше.)

\pagebreak

\noindent\emph{20 марта 2012 г.}

\subsection{Предтопология Гротендика}

\term{Решето, порожденное покрытием $R = \{ U_i \}_{i\in I}$} есть семейство

\[ (R) = \{ U \in \categ{Open} (X) \mid \exists i ~ U \subseteq U_i \}. \]

Теперь, как мы уже делали выше, это определение можно сформулировать в терминах стрелок в произвольной категории (с парой технических ограничений).

\begin{center}
\noindent\emph{Пусть $\categ{C}$~--- малая категория с pullback'ами.}
\end{center}

Пусть имеется правило $K$, сопоставляющее каждому $X \in \Ob(\categ{C})$ некоторый набор $K(X)$ множеств морфизмов с кообластью $X$. Элементы $K (X)$ называются \term{покрытиями $X$}. Правило $K$ называется \term{предтопологией Гротендика} (или \term{базой топологии Гротендика}), если выполнены следующие аксиомы:

\begin{enumerate}
\item Если $f\colon Y \xrightarrow{\isom} X$~--- изоморфизм, то $\{f\} \in K (X)$.

\item Согласованность с pullback'ами:

\[ \xymatrix{
Y_i \ar[r]\ar[d] \times_X Z & Y_i \ar[d]^{f_i} \\
Z\ar[r]_g & X
} \]

\item Если $\{ Y_i \xrightarrow{f_i} X \}_{i\in I} \in K(X)$ и для каждого $i\in I$ имеем $\{ Z_{ij} \xrightarrow{g_{ij}} Y_i \}_{j\in I_i} \in K(Y_i)$, тогда $\{ Z_{ij} \xrightarrow{g_{ij}} Y_i \xrightarrow{f_i} X \}_{\substack{i\in I,\\j\in I_i}} \in K(X)$.
\end{enumerate}

Всякая предтопология Гротендика $K$ на $\categ{C}$ определяет (порождает) топологию Гротендика $\mathcal{J}$ на $\categ{C}$:

\begin{gather*}
(R) \dfn \{ g\,f \mid f \in R, ~ \Cod (g) = \Dom (f) \},\\
\mathcal{J} (X) \dfn \{ (R) \mid R \in K(X) \}.
\end{gather*}

И обратно, каждой топологии Гротендика $\mathcal{J}$ на $\categ{C}$ соответствует единственная \emph{наибольшая} предтопология $K$ на $\mathcal{C}$, которая порождает $\mathcal{J}$:

\[ K (X) \dfn \{ R \mid (R) \in \mathcal{J} (X) \}. \]

\subsection{Примеры топологий Гротендика}

Пусть $\categ{C} \subseteq \categ{Top}$~--- подкатегория в категории топологических пространств, замкнутая относительно конечных пределов и открытых подпространств. Например, $\categ{T}_2$~--- категория хаусдорфовых пространств.

\term{Топология открытых покрытий} (\emph{open cover topology}) на $\categ{C}$ получается из такой предтопологии, где $\{ Y_i \xrightarrow{f_i} X \}_{i\in I} \in K(X)$, если

\begin{enumerate}
\item $Y_i$ открыто в $X$.

\item $f_i$~--- это вложение $Y_i \hookrightarrow X$.

\item $\bigcup Y_i = X$.
\end{enumerate}

\begin{itemize}
\item \term{Малый сайт} на $X \in \Ob (\categ{C})$~--- это подкатегория $\categ{Open} (X) \subseteq \categ{Top}$, снабженная топологией открытых покрытий.

\item \term{Большой сайт}~--- это все $\categ{Open} (X)$ с такой топологией.

\item \term{Большой сайт над $X$}~--- это топология на категории стрелок $Y \to X$, где $Y$~--- всевозможные объекты $\categ{C}$.
\end{itemize}

\term{Большая топология} задается $\{ Y_i \xrightarrow{f_i} X \}_{i\in I} \in K(X)$ для сюръективных стрелок $\coprod Y_i \xrightarrow{\sqcup f_i} X$.

\subsection{Отступление из коммутативной алгебры: локализация}

Подмножество $S \subseteq R$ коммутативного кольца $R$ называется \term{мультипликативным}, если $1 \in S$, $0 \notin S$ и $x\,y \in S$ для всех $x, y \in S$.

Для мультипликативного подмножества $S$ \term{локализацией} называется кольцо $S^{-1}R$ вместе с гомоморфизмом $R \xrightarrow{F_S} S^{-1}R$, так что

\begin{enumerate}
\item $F_S (S) \subseteq (S^{-1}R)^\times$.

\item Морфизм $F_S$ универсален среди всех морфизмов $R \xrightarrow{f} A$, таких что $f(S) \subseteq A^\times$:

\[ \xymatrix{
R\ar[rr]^{F_S}\ar[dr]_f & & S^{-1}R \\
 & A\ar@{-->}[ur]_{\exists!}
} \]
\end{enumerate}

\begin{proposition}
Для всякого мультипликативного подмножества $S \subseteq R$ существует единственная с точностью до изоморфизма локализация $S^{-1}R$.

\begin{proof}
Рассмотрим пары $(x,y) \in R\times S$. Введем на них отношение эквивалентности

\[ (x,y) \sim (u,v) \iff (x\,v - y\,u)\,w = 0 \text{ для некоторого } w\in S. \]

Тогда на $S^{-1}R \dfn (R\times S)/\!\sim$ можно ввести умножение и сложение ($\frac{x}{y}$ обозначает класс эквивалентности пары $(x,y)$):

\begin{gather*}
\frac{x}{u} \cdot \frac{y}{v} \dfn \frac{x\,y}{u\,v},\\
\frac{x}{u} + \frac{y}{v} \dfn \frac{x\,v + u\,y}{u\,v}.
\end{gather*}

Непосредственно проверяется, что получилось корректное определение коммутативного кольца, которое и является локализацией.
\end{proof}
\end{proposition}

Пусть $s \in R$~--- не нильпотент. Он порождает \term{главную мультипликативную систему} $S = \left<s\right> = \{ 1, s, s^2, s^3, \ldots \}$. Локализация обозначается $R [\frac{1}{s}]$ или $R_s$ и называется \term{главной локализацией}.

Примеры локализации знакомы всем из начальной школы: $\mathbb{Q} = (\mathbb{Z} \setminus \{ 0 \})^{-1} \, \mathbb{Z}$~--- кольцо рациональных чисел и $\mathbb{Z} [\frac{1}{10}]$~--- кольцо десятичных дробей.

Собственный идеал кольца $\mathfrak{m} \subset R$ называется \term{максимальным}, если он максимален по включению. Множество максимальных идеалов обозначается за $\Specm (R)$.

Собственный идеал кольца $\mathfrak{p} \subset R$ называется \term{простым}, если для $a\,b \in \mathfrak{p}$ всегда выполняется $a \in \mathfrak{p}$ или $b \in \mathfrak{p}$. Множество простых идеалов обозначается за $\Spec (R)$.

\begin{exercise}
\begin{itemize}
\item Если $\mathfrak{m}$~--- максимальный идеал, то он является простым.

\item $\Nil (R) = \bigcap\limits_{\mathfrak{p} \in \Spec (R)} \mathfrak{p}$, где $\Nil (R)$~--- \term{нильрадикал}, множество всех нильпотентных элементов ($s^n = 0$ для некоторого $n$).
\end{itemize}
\end{exercise}

Как видно, $\mathfrak{p}$ простой iff $R \setminus \mathfrak{p}$~--- мультипликативное подмножество. Локализация $(R \setminus \mathfrak{p})^{-1} R$ обозначается за $R_\mathfrak{p}$.

Если мы последовательно локализуем кольцо по разным элементам, то результат не зависит от порядка локализации.

\[ \xymatrix{
 & R\ar[dl]\ar[dr] & \\
R_s\ar[dr] & & R_t\ar[dl] \\
 & R_{st} &
} \]

\[ S^{-1}R = \varinjlim_{s\in S} R_s. \]

\subsection{Топология Зариского}

Вспомним пример из раздела \ref{affine-algebraic-varieties}, где описывалась антиэквивалентность категории $\categ{AffAlg}_k$ аффинных $k$-алгебр и категории $\categ{AffVar}_k$ аффинных алгебраических многообразий над $k$ (для алгебраически замкнутого $k$). Мы не имеем возможности подробно развить этот сюжет, но скажем, что морально, существует двойственность

\begin{eqnarray*}
\boxed{\text{коммутативные кольца с }1} & \leftrightarrow & \boxed{\text{аффинные схемы}} \\
R & \leftrightarrow & X = \Spec (R) \\
R \to S_i & \leftrightarrow & Y_i \to X
\end{eqnarray*}

Поэтому мы позволим себе не говорить о схемах, а просто думать про двойственную категорию $\categ{Ring}^*$.

\term{Топология Зарисского} определяется $\{ R \xrightarrow{F_{s_i}} R_{s_i} \}_{i = 1, \ldots, m} \in K_{Zar} (R)$, где $s_i \in R$~--- не нильпотенты и $s_1\,R + \cdots + s_m\,R = R$ или $s_1 + \cdots + s_m = 1$.

Это предтопология Гротендика на категории $\categ{Ring}^*$ (проверьте аксиомы!).

Геометрически, смысл локализации следующий: если кольцу $R$ соответствует двойственный объект $X = \Spec (R)$, то локализации $R_s$ соответствует двойственный объект $U_s = \Spec (R_s) = X \setminus V(s)$~--- то, что называется \term{главным открытым подмножеством}.

\vspace{2em}

На категории схем можно определить еще много разных топологий~--- \term{этальную топологию}, \term{топологию Нисневича}, \term{fppf} (\emph{fidèlement plate de présentation finie}), \term{fpqc} (\emph{fidèlement plate quasi-compacte}), и т. п. Они играют разную роль в разных задачах и науках.

\pagebreak

\appendix
\section{Словарь}

В категорной терминологии иногда возникает путаница, поэтому все возможные синонимы и переводы терминов собраны в табличку ниже.

\begin{footnotesize}
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{4cm}|c||p{4cm}|c|}
\hline
\emph{terminal object},\newline \emph{universally attracting object},\newline унив. притягивающий объект & $\xymatrix{
 \bullet\ar@{-->}[d]^{\exists!} \\
 X}$ &
\emph{initial object},\newline \emph{universally repelling object},\newline унив. отталкивающий объект & $\xymatrix{
 X\ar@{-->}[d]^{\exists!} \\
 \bullet}$ \\
\hline
\emph{product},\newline произведение & $\xymatrix{
  & \bullet\ar@{-->}^{\exists!}[d]\ar@/_1.5em/[ddl]\ar@/^1.5em/[ddr] & \\
  & A\times B\ar[dl]_{\pr_1}\ar[dr]^{\pr_2} & \\
A &   & B
}$ &
\emph{coproduct},\newline копроизведение & $\xymatrix{
A\ar[dr]^{i_1}\ar@/_1em/[ddr] & & B\ar[dl]_{i_2}\ar@/^1em/[ddl] \\
 & A\sqcup B\ar@{-->}[d]^{\exists!} & \\
 & \bullet &
}$ \\
\hline
\emph{pullback},\newline \emph{fibered product},\newline \emph{Cartesian square},\newline расслоенное произведение,\newline декартов квадрат,\newline коуниверсальный квадрат & $\xymatrix{
\bullet \ar@{-->}[dr]^{\exists!}\ar@/^1em/[drr]\ar@/_1em/[ddr] & \\
& A\times_C B \ar[r]^{\pr_2} \ar[d]_{\pr_1} & B \ar[d]^g \\
& A \ar[r]_f & C
}$ &
\emph{pushout},\newline \emph{fibered coproduct},\newline \emph{cocartesian square},\newline \emph{amalgamated sum},\newline расслоенное копроизведение,\newline декартов коквадрат,\newline кодекартов квадрат,\newline универсальный квадрат & $\xymatrix{
C \ar[r]^g \ar[d]_f & B \ar[d]^{i_2} \ar@/^1em/[ddr] \\
A \ar[r]_{i_1} \ar@/_1em/[drr] & A \sqcup_C B \ar@{-->}[dr]^{\exists!} \\
 & & \bullet
}$ \\
\hline
\emph{limit},\newline предел & $\xymatrix{
 & \bullet\ar@{-->}[d]^{\exists!}\ar@/_1em/[ddl]\ar@/^1em/[ddr] & \\
 & C\ar[dl]_{\phi_X}\ar[dr]^{\phi_Y} & \\
F(X)\ar[rr]_{F(f)} & & F(Y)
}$ &
\emph{colimit},\newline копредел & $\xymatrix{
F(X)\ar[rr]^{F(f)}\ar[dr]_{\phi_X}\ar@/_1em/[ddr] & & F(Y)\ar[dl]^{\phi_Y}\ar@/^1em/[ddl] \\
 & C\ar@{-->}[d]^{\exists!} & \\
 & \bullet &
}$ \\
\hline
\emph{inverse limit},\newline \emph{projective limit},\newline $\varprojlim$,\newline обратный предел,\newline проективный предел & $\xymatrix{
 & \bullet\ar@{-->}[d]^{\exists!}\ar@/^1em/[ddr]\ar@/_1em/[ddl] & \\
 & X\ar[dr]^{f_j}\ar[dl]_{f_i} & \\
X_i & & X_j\ar[ll]^{f_i^j}
}$ & \emph{direct limit},\newline \emph{injective limit},\newline $\varinjlim$,\newline прямой предел,\newline инъективный предел & $\xymatrix{
X_i\ar[rr]^{f_j^i}\ar[dr]_{f^i}\ar@/_1em/[ddr] & & X_j\ar[dl]^{f^j}\ar@/^1em/[ddl] \\
 & X\ar@{-->}[d]^{\exists!} & \\
 & \bullet &
}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{footnotesize}

\end{document}
